Если известно, что f (x0) = -5, то какой угол образует касательная к графику функции y = *(x) в точке x0 с осью

Функция второй производной \(f""(x)\) показывает, как меняется скорость изменения функции \(f(x)\) в зависимости от значения \(x\). Зная, что \(f""(x_0) = -5\), мы можем определить направление и угол наклона касательной к графику функции \(y = f(x)\) в точке \(x_0\).

Когда \(f""(x_0) < 0\), это означает, что функция \(y = f(x)\) выпуклая вниз в точке \(x_0\). В данном случае, угол между касательной и осью абсцисс будет отрицательным углом. Чем сильнее отклонение значений \(f""(x_0)\) от нуля, тем ближе касательная будет располагаться к оси абсцисс.

Определение угла наклона касательной \(k\) к графику функции можно найти, используя тангенс угла:

\[k = \tan(\theta)\]

Где \(\theta\) - это искомый угол между касательной и осью абсцисс.

Таким образом, зная \(f""(x_0) = -5\), мы можем вычислить угол наклона:

\[k = \tan(\theta) = \tan^{-1}(-5) = -78.69^\circ\]

Ответ: Касательная к графику функции \(y = f(x)\) в точке \(x_0\) образует отрицательный угол примерно -78.69 градусов с осью абсцисс.

Совет: Чтобы лучше понять, какие свойства графика функции определяются ее второй производной, полезно изучить связь между первой и второй производными. Когда первая производная положительна, график функции возрастает, а когда первая производная отрицательна, график функции убывает. Вторая производная указывает, насколько быстро график функции изменяет свой наклон.

Задача на проверку: Найдите угол наклона касательной к графику функции \(y = x^2\) в точке \(x = 2\).