Если a > 0, b > 0, то докажите неравенство (9+1/a)(25+1/b)(1+4ab

Тема вопроса: Доказательство неравенства (9+1/a)(25+1/b)(1+4ab)

Обоснование ответа: В этой задаче мы должны доказать неравенство (9+1/a)(25+1/b)(1+4ab). Для начала стоит отметить, что a > 0 и b > 0, поэтому все числа, с которыми мы работаем, положительные. Мы можем решить это, используя преобразования и свойства неравенств.

Мы начнем с раскрытия скобок:

(9+1/a)(25+1/b)(1+4ab) = 225 + 25/a + 9b + 1/ab + 4ab + 1 + 4a

Затем мы можем объединить некоторые члены, чтобы упростить выражение:

225 + (25/a + 9b + 1/ab) + (4ab + 1 + 4a)

Теперь обратим внимание на первое слагаемое: 225. Нам останется доказать, что остальные члены больше или равны нулю, так как 225 положительное число.

Рассмотрим оставшиеся члены:

25/a + 9b + 1/ab, а также 4ab + 1 + 4a

Для доказательства, что эти два члена больше или равны нулю, мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1∙a2∙...∙an)

Теперь применим это свойство для обоих членов:

25/a + 9b + 1/ab ≥ 3√(25/a∙9b∙1/ab) = 3√(225/ab) = 3√(225/(ab)) ≥ 3√(225/ab) = 3√(225/(ab))

4ab + 1 + 4a ≥ 3√(4ab∙1∙4a) = 3√(16ab/ab) = 3√(16) = 3√(16) ≥ 3√(16) = 3√(16)

Таким образом, оба члена больше или равны нулю. Итак, мы можем заключить, что:

(9+1/a)(25+1/b)(1+4ab) ≥ 225

Доп. материал: Пусть a = 2, b = 3. Докажите неравенство (9+1/2)(25+1/3)(1+4(2)(3)) ≥ 225.

Совет: В данном случае было применено свойство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим для доказательства, что два члена больше или равны нулю. Помните, что в подобных задачах важно использовать известные свойства и преобразования, чтобы упростить и доказать неравенства.

Задача на проверку: Докажите неравенство (4+1/a)(9+1/b)(16+1/(ab+1)) ≥ 64, при условии, что a > 0 и b > 0.