Допустим, x и y являются натуральными числами такими, что 7x+9y делится на 11. г) Если сумма двух натуральных чисел

Тема урока: Деление на 11 и 7

Пояснение:
Чтобы понять, как доказать, что число 2m^2 + 5mn + 3n^2 делится на 11, если сумма двух натуральных чисел m и n делится на 7, давайте рассмотрим первую часть задачи.

а) Пусть 7x + 9y делится на 11. Для того чтобы это было верно, нужно, чтобы 7x + 9y было кратно 11. Если два числа x и y таковы, что их сумма делится на 11, то их разность тоже будет делиться на 11. Мы можем использовать этот факт, чтобы доказать, что x и y можно представить в виде: x = 11a - 9b и y = 7b - 7a для некоторых целых чисел a и b.

б) Теперь рассмотрим вторую часть задачи. Давайте выразим 2m^2 + 5mn + 3n^2 через x и y, используя замену, которую мы получили в первой части задачи.

2m^2 + 5mn + 3n^2 = 2(11a - 9b)^2 + 5(11a - 9b)(7b - 7a) + 3(7b - 7a)^2

Мы можем упростить это выражение и проверить, делится ли оно на 11. Если оно делится на 11, значит, мы доказали, что число 2m^2 + 5mn + 3n^2 делится на 11.

Например:
Представим, что m = 3 и n = 2. Тогда сумма двух натуральных чисел, m и n, равна 3 + 2 = 5, что делится на 7. Мы можем использовать эти значения, чтобы проверить, делится ли число 2m^2 + 5mn + 3n^2 на 11.

2(3^2) + 5(3)(2) + 3(2^2) = 2(9) + 5(6) + 3(4) = 18 + 30 + 12 = 60

Так как 60 не делится на 11, наше доказательство не сработало. Вероятно, была допущена ошибка в замене x и y.

Совет:
Для лучшего понимания темы деления на 11 и 7, рекомендуется ознакомиться с теорией о делимости на эти числа. Понимание основных свойств деления поможет вам более легко решать подобные задачи.

Задание:
Докажите, что число 2p^2 + 3p + 1 делится на 7, если p - натуральное число, такое что 3p + 2 делится на 7.