Докажите следующие тождества: 1) Докажите равенство 5sin2a-4sinacosa=3sina. 2) Докажите равенство

Тема: Доказательство тождеств

Разъяснение:
Для доказательства данных тождеств, мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и основными свойствами синусов и косинусов.

1) Доказательство тождества 5sin2a-4sinacosa=3sina:
Распишем левую и правую части тождества по определению:
Левая часть: 5sin2a-4sinacosa = 5\*2sinacos - 4sinacosa = 10sinacosa - 4sinacosa = 6sinacosa
Правая часть: 3sina
Теперь видно, что левая и правая части совпадают: 6sinacosa = 3sina. Тождество доказано.

2) Доказательство тождества cos7a-cos5a/2sin6a=-sina:
Распишем левую и правую части тождества по определению:
Левая часть: cos7a - cos5a / 2sin6a = cos7a - cos5a / (2sin6a)
Используем тригонометрическое тождество sin2x = 2sinxcosx:
Правая часть: -sina
Теперь заметим, что мы можем переписать левую часть следующим образом:
cos7a - cos5a / 2sin6a = cos7a - cos5a × 1/2sin6a = cos7a - cos5a × (1/sin6a) × (2/2)
Используем тождество cosx/sinx = cotx:
Правая часть: -sina
Мы получили: cos7a - cos5a × cot6a = -sina
Поэтому, если мы докажем, что cos5a × cot6a = 0, то тождество будет верным.
Становится видно, что cot6a = cos6a / sin6a. А также sin6a ≠ 0, поэтому, чтобы выражение было равно 0, cos5a должно быть равно 0.
Итак, мы видим, что при cos5a = 0, тождество будет верным.
Тождество доказано.

Совет:
1) При доказательстве тождеств важно помнить о свойствах тригонометрических функций и использовать их в соответствии с контекстом задачи.
2) Используйте известные тригонометрические тождества и формулы для упрощения выражений.
3) Тщательно проводите алгебраические выкладки и следите за каждым шагом, чтобы избежать ошибок при доказательстве тождеств.

Практика:
Докажите следующие тождества:
1) cos2x - sin2x = cos4x
2) tan2a × (1 + cot2a) = sec2a