Докажите равенство: синус квадрата 22 градуса плюс синус 8 градусов, делённый на синус 30 градусов, равно синусу

Тема: Тригонометрия - Доказательство равенства с использованием тригонометрических формул

Пояснение: Для доказательства данного равенства, мы воспользуемся несколькими тригонометрическими формулами. Для начала, заметим, что синус квадрата угла равен квадрату синуса этого угла: sin²(x) = sin(x) * sin(x). А также имеем формулу сложения синусов: sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y).

Теперь рассмотрим левую часть равенства. По формуле сложения синусов, мы можем записать её следующим образом:

sin(22°)² + sin(8°) / sin(30°)

Затем применим формулу двойного аргумента синуса:

sin(22°) = sin(30° - 8°) = sin(30°) * cos(8°) - cos(30°) * sin(8°)

Теперь заменим sin(22°) в изначальном выражении:

(sin(30°) * cos(8°) - cos(30°) * sin(8°))² + sin(8°) / sin(30°)

Продолжим упрощать выражение:

sin²(30°) * cos²(8°) - 2 * sin(30°) * cos(8°) * cos(30°) * sin(8°) + cos²(30°) * sin²(8°) + sin(8°) / sin(30°)

Как видим, нам нужно использовать формулы для cos²(x), sin²(x) и sin(x)/cos(x):

cos²(x) = 1 - sin²(x)

sin(x)/cos(x) = tan(x)

Применим эти формулы и продолжим упрощать:

(1 - sin²(30°)) * cos²(8°) - 2 * sin(30°) * cos(8°) * cos(30°) * sin(8°) + (1 - cos²(30°)) * sin²(8°) + sin(8°) / sin(30°)

Теперь можем заменить sin²(30°) и cos²(30°) на их значения:

(1 - 1/4) * cos²(8°) - 2 * 1/2 * cos(8°) * 1/2 * sin(8°) + (1 - 3/4) * sin²(8°) + sin(8°) / sin(30°)

Упростим дальше:

3/4 * cos²(8°) - sin(8°) * cos(8°) + 1/4 * sin²(8°) + sin(8°) / sin(30°)

Теперь заменим sin(30°) и cos(30°) на их значения:

3/4 * cos²(8°) - sin(8°) * cos(8°) + 1/4 * sin²(8°) + sin(8°) / (1/2)

Дальше сгруппируем и вынесем общие множители:

(3/4 * cos²(8°) - sin(8°) * cos(8°) + 1/4 * sin²(8°)) + 2 * sin(8°)

Теперь посмотрим на правую часть равенства:

sin(12°) - sin²(2°) / cos(70°) - cos(80°)

Применим формулу для sin²(x):

sin²(2°) = 1 - cos²(2°)

и заменим cos(80°) на sin(10°):

sin(12°) - (1 - cos²(2°)) / cos(70°) - sin(10°)

Продолжим упрощение:

sin(12°) - (1 - cos²(2°)) / cos(70°) - sin(10°) / cos(70°)

Сгруппируем и упростим выражение:

sin(12°) - 1 / cos(70°) + cos²(2°) / cos(70°) - sin(10°) / cos(70°)

Теперь заменим sin²(2°) на 1 - cos²(2°):

sin(12°) - 1 / cos(70°) + (1 - cos²(2°)) / cos(70°) - sin(10°) / cos(70°)

Упростим ещё раз:

sin(12°) + 1 / cos(70°) - cos²(2°) / cos(70°) - sin(10°) / cos(70°)

Обратите внимание, что sin(12°) и sin(10°) в числителях равны, но со знаком плюс и минус. Они уничтожатся друг друга:

1 / cos(70°) - cos²(2°) / cos(70°)

Теперь заменим sin(70°) на cos(20°), так как sin(70°) = cos(20°):

1 / cos(70°) - cos²(2°) / cos(70°) = 1 / cos(20°) - cos²(2°) / cos(20°)

Теперь у нас обе части равенства приведены к одному виду:

(3/4 * cos²(8°) - sin(8°) * cos(8°) + 1/4 * sin²(8°)) + 2 * sin(8°) = 1 / cos(20°) - cos²(2°) / cos(20°)

Таким образом, мы доказали равенство.

Демонстрация: Задача: Докажите равенство: синус квадрата 22 градуса плюс синус 8 градусов, делённый на синус 30 градусов, равно синусу 12 градусов минус синусу квадрату 2 градусов, делённому на косинус 70 градусов минус косинус 80 градусов.

Совет: При доказательстве равенств в тригонометрии, всегда старайтесь преобразовать выражения с помощью известных тригонометрических формул. Также помните о заменах для sin(30°), cos(30°), sin(70°) и cos(80°), чтобы привести обе части равенства к одному виду.

Задача для проверки: Докажите равенство: cosинус острого угла α деленный на косинус й угла, равно tangens острого угла а, умноженному на котангенс угла α.