Докажите равенство: (b³/b²-8b+16 - b²/b-4)÷(b²/b²-16 - b/b-4)=b²+4b/4-b

Тема: Доказательство равенства

Описание: Для доказательства равенства нам необходимо пошагово преобразовать выражение с обеих сторон и показать, что они приводят к одному и тому же результату. Давайте начнем.

1. Сначала найдем общий знаменатель для обоих дробей в равенстве. Определим знаменатель каждой дроби по отдельности:
- Знаменатель первой дроби: b² - 8b + 16 = (b - 4)²
- Знаменатель второй дроби: b² - 16 = (b - 4)(b + 4)

2. Теперь приведем оба знаменателя в равенстве к общему виду. Мы видим, что (b - 4)(b + 4) является общим знаменателем для обеих дробей.

3. Перепишем выражение в виде с общим знаменателем:
(b³/(b - 4)² - b²/(b - 4)) ÷ ((b²/(b - 4)(b + 4)) - b/(b - 4)) = b² + 4b/4 - b

4. Теперь выполняем операции по упрощению. Сначала упростим числители внутри дробей:
- (b³ - b²(b - 4)) ÷ (b² - b(b + 4)) = b² + 4b/4 - b
- (b³ - b³ + 4b²) ÷ (b² - b² - 4b) = b² + 4b/4 - b
- 4b² ÷ (-4b) = b² + 4b/4 - b

5. Применяем деление и последовательные сокращения:
- -4b²/4b = b² + 4b/4 - b
- -b = b² + 4b/4 - b

6. Видим, что последние два слагаемых на правой стороне равны, так как -b и +4b сокращаются. Получаем:
-b = -b

7. Таким образом, мы доказали, что выражение (b³/b² - 8b + 16 - b²/b - 4) ÷ (b²/b² - 16 - b/b - 4) равно b² + 4b/4 - b.

Совет: Для успешного доказательства равенства всегда постарайтесь упростить выражения, привести их к общему знаменателю и последовательно применить необходимые операции. Кроме того, проверяйте каждый шаг внимательно, чтобы не пропустить возможные ошибки в рассуждениях.

Задание для закрепления: Докажите равенство: (a³/a - 3) ÷ (a³ - 27) = 1/(a² - 3a + 9)