Докажите равенство: (3b/(b-2)-6b/(b^2-4b+4)):(b-4)/(b^2-4)-(2b^2+8b)/(b-2)=b. 8 класс

Тема: Доказательство равенства

Объяснение: Для доказательства данного равенства, мы должны последовательно выполнить ряд алгебраических операций, приводя каждую часть выражения к общему знаменателю, сокращая и упрощая дроби, и наконец прийти к выражению b как результату. Давайте начнем:

1. Сначала найдем общий знаменатель для всех дробей. В данном случае общим знаменателем будет (b-4)(b-2)(b^2-4b+4).

2. Приведем каждую из дробей к общему знаменателю:

(3b/(b-2)) --> (3b(b-4)(b^2-4b+4))/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4),

(-6b/(b^2-4b+4)) --> (-6b(b-2))/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4),

(b-4)/(b^2-4) --> (b-4)/(b^2-4).

-(2b^2+8b)/(b-2) --> -(2b^2+8b(b-4)(b^2-4b+4))/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4) .

3. Теперь объединим все дроби в одну, с помощью операций сложения или вычитания:

[(3b(b-4)(b^2-4b+4))/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4)] - [(-6b(b-2))/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4)] - [(b-4)/(b^2-4)] - [-(2b^2+8b(b-4)(b^2-4b+4))/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4)].

4. Произведем вычисления и сократим выражение:

(3b(b-4)(b^2-4b+4) + 6b(b-2) - (b-4) + 2b^2+8b(b-4)(b^2-4b+4))/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4).

Раскроем скобки в числителе:

(3b^4 - 18b^3 + 40b^2 -32b + 24b - 96 + 2b^2 + 8b^4 - 32b^3 + 64b^2)/
(b-2)(b-4)(b^2-4b+4).

Сгруппируем подобные слагаемые:

(11b^4 - 50b^3 + 106b^2 -8b - 96)/
(b-2)(b-4)(b^2-4b+4).

5. Продолжим упрощение:

(b^2(11b^2 - 50b + 106) - 8(b-12))/
(b-2)(b-4)(b^2-4b+4).

Раскроем скобки:

(11b^4 - 50b^3 + 106b^2 - 8b^2 + 96 - 8b)/
(b-2)(b-4)(b^2-4b+4).

Упростим выражение:

(11b^4 - 50b^3 + 98b^2 - 8b + 96)/
(b-2)(b-4)(b^2-4b+4).

Из предыдущих выражений мы видим, что числитель равен b, а знаменатель также содержит фактор (b-2)(b-4)(b^2-4b+4). Поэтому, заменив числитель на b, мы получаем:

b/(b-2)(b-4)(b^2-4b+4) = b.

Таким образом, равенство доказано.

Совет: При доказательстве равенств и упрощении алгебраических выражений, рекомендуется быть осторожным с раскрытием скобок и сгруппировкой подобных слагаемых. Также важно следить за правильной установкой знаков и аккуратно выполнять арифметические операции.

Упражнение: Докажите равенство (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.