Докажите, что для всех значений переменной a неравенство (3a-4)(3a+4) меньше (3a+4)-24a

Тема урока: Решение неравенств

Объяснение: Чтобы доказать данное неравенство для всех значений переменной a, мы должны сравнить значения выражений на обеих сторонах и установить, когда одно выражение больше другого.

Для начала, раскроем скобки в обоих частях неравенства:
(3a-4)(3a+4) меньше (3a+4)-24a

9a^2 - 16 меньше 3a + 4 - 24a

Теперь приведем подобные слагаемые и соберем их в одну сторону:
9a^2 + 23a - 20 меньше 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем его корни. Сначала, посмотрим на дискриминант:
D = b^2 - 4ac = (23)^2 - 4(9)(-20) = 529 + 720 = 1249

Так как дискриминант положительный, то у нас имеются два корня:
a1 = (-b - √D) / (2a) = (-23 - √1249) / 18
a2 = (-b + √D) / (2a) = (-23 + √1249) / 18

Теперь мы знаем точные значения корней, и можем построить число-пробное на промежутке между корнями и проверить знак выражения (9a^2 + 23a - 20):
Например, возьмем a = 0:
9(0)^2 + 23(0) - 20 = -20

Также, возьмем a = 1:
9(1)^2 + 23(1) - 20 = 12

Мы видим, что при a от 0 до 1, выражение больше 0, а при a за пределами этого промежутка, выражение меньше 0. Значит, мы можем заключить, что для всех значений переменной a неравенство (3a-4)(3a+4) меньше (3a+4)-24a верно.

Совет: Во время решения неравенств, быть осторожным с изменением знака выражения при умножении или делении на отрицательное число. Чтобы избежать ошибок, решайте неравенства пошагово, приводя подобные слагаемые и проверяя знак в различных точках.

Задание: Решите неравенство 2x^2 + 5x - 3> 0 для переменной x.