Докажите, что для всех натуральных значений n, значение выражения (3*8)^(2n+1) + (62*21)^n является кратным

Тема занятия: Докажите, что для всех натуральных значений n, значение выражения (3*8)^(2n+1) + (62*21)^n является кратным 51.

Пояснение: Чтобы доказать, что данное выражение является кратным 51 для всех натуральных значений n, нужно воспользоваться математической индукцией.

1. Базовый шаг: Для n = 1, подставим значение в выражение: (3*8)^(2*1+1) + (62*21)^1 = 24^3 + 1302 = 13824 + 1302 = 15126. Очевидно, что 15126 кратно 51.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого натурального k, выражение (3*8)^(2k+1) + (62*21)^k кратно 51.

3. Индукционный шаг: Докажем, что если выражение кратно 51 для k, то оно будет кратно и для k+1. Рассмотрим:
(3*8)^(2(k+1)+1) + (62*21)^(k+1) = (3*8)^(2k+3) + (62*21)^k * (62*21)
= (3*8)^(2k+1) * (3*8)^2 + (62*21)*[(3*8)^(2k+1) + (62*21)^k]
= [(3*8)^(2k+1) + (62*21)^k] * [(3*8)^2 + (62*21)]
Заметим, что (3*8)^2 + (62*21) кратно 51, так как каждое из слагаемых кратно 51. По предположению индукции выражение (3*8)^(2k+1) + (62*21)^k также кратно 51. Поэтому [(3*8)^(2k+1) + (62*21)^k] * [(3*8)^2 + (62*21)] будет кратно 51.

Таким образом, мы доказали, что для всех натуральных значений n выражение (3*8)^(2n+1) + (62*21)^n является кратным 51.

Совет: При решении задач, требующих доказательство, используйте математическую индукцию. Начните с базового шага, где проверяется для наименьшего значения n. Затем сделайте предположение индукции и докажите, что оно выполняется для некоторого k, а затем для k+1. В конце, убедитесь, что все это приводит к доказательству для всех значений n.

Упражнение: Докажите, что для всех натуральных значений n, значение выражения (4*7)^(2n+1) + (81*18)^n является кратным 63.