До какого количества подбрасываний игральной кости нужно их продолжать, чтобы было меньше 13 выпадений числа очков

Тема урока: Продолжение подбрасывания игральной кости

Разъяснение:

В этой задаче рассматривается вероятность выпадения конкретного числа очков на игральной кости. Мы хотим найти количество подбрасываний, при котором будет меньше 13 выпадений числа очков, отличного от 6.

Игральная кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6. Вероятность выпадения каждого числа равна 1/6. Так как нам нужно, чтобы выпадало число, отличное от 6, мы вычитаем вероятность выпадения "шестерки" из единицы и получаем 5/6.

Теперь мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения вероятности, что количество выпадений числа, отличного от 6, будет меньше 13 при заданном количестве подбрасываний. Для этого нам нужно найти сумму вероятностей от 0 до 12 выпадений и вычесть ее из единицы.

Также для нахождения среднеквадратического отклонения мы можем использовать формулу для биномиального распределения:

среднеквадратическое отклонение = √(n * p * (1 - p)), где n - количество подбрасываний, p - вероятность выпадения "шестерки".

Например:

Задача: До какого количества подбрасываний игральной кости нужно их продолжать, чтобы было меньше 13 выпадений числа очков, отличного от 6?

Решение: Мы должны найти сумму вероятностей от 0 до 12 выпадений числа очков, отличного от 6, и вычесть ее из единицы.

Совет:

Чтобы лучше понять задачу, вы можете составить таблицу вероятностей для разного количества подбрасываний и построить график зависимости вероятности от количества подбрасываний. Это поможет визуализировать результаты.

Задача для проверки:

Какова вероятность, что при 20 подбрасываниях игральной кости будет меньше 13 выпадений числа очков, отличного от 6?

Задача: До какого количества подбрасываний игральной кости нужно их продолжать, чтобы было меньше 13 выпадений числа очков, отличного от 6? Какое среднеквадратическое отклонение будет у числа подбрасываний? Какова вероятность выпадения «шестерки»?

Решение: Для решения данной задачи мы будем использовать биномиальное распределение. Игральная кость имеет 6 граней, из которых только 1 обозначена числом 6.

Вероятность выпадения числа, отличного от 6, на однократном подбрасывании составляет 5/6, а вероятность выпадения «шестерки» равна 1/6.

Теперь мы можем рассмотреть случайное событие "выпадение числа, отличного от 6" как успех, с вероятностью p = 5/6, и исследовать количество подбрасываний, чтобы получить меньше 13 успехов.

Чтобы найти количество подбрасываний, можно использовать неравенство Чебышева, которое утверждает, что вероятность того, что случайная величина отклонится от своего среднего значения на n стандартных отклонений, не превышает 1/n^2.

Чтобы было меньше 13 успехов, вероятность такого события не должна превышать 1/13^2 = 1/169.

Далее, для нахождения среднеквадратического отклонения используем формулу:
σ = √(np(1-p))

где n - количество подбрасываний, p - вероятность успеха.

Среднеквадратическое отклонение равно √(n(5/6)(1-5/6)).

Вероятность выпадения "шестерки" равна p = 1/6.

Например: Пусть мы проводим 20 подбрасываний игральной кости. Найдем вероятность, что будет меньше 13 успехов и среднеквадратическое отклонение.
Количество подбрасываний для заданной вероятности и отклонения можно найти методом перебора или использовать специализированные программы, такие как Microsoft Excel или язык программирования Python.

Совет: Для понимания задачи стоит обратить внимание на то, что количество успехов не должно превышать заданное значение. При большем количестве подбрасываний вероятность события с меньшим количеством успехов будет уменьшаться. Также, среднеквадратическое отклонение показывает разброс значений относительно среднего значения.

Задача для проверки: Сколько подбрасываний необходимо провести, чтобы вероятность получить меньше 8 успехов (число, отличное от 6), была меньше 0.05? Какое будет среднеквадратическое отклонение в этом случае? Какова вероятность выпадения «шесть», если всего проведено 15 подбрасываний?