Что такое производная функции f(x)=√x/6-5x^2+x/6+14 в точке x0=1?

Тема: Производная функции в точке

Описание: Производная функции позволяет нам определить скорость изменения функции в каждой точке. Она представляет собой производную изменения значения функции относительно изменения аргумента функции. В данной задаче требуется найти производную функции f(x)=√x/6-5x^2+x/6+14 в точке x0=1.

Для нахождения производной функции, сначала раскроем скобки и упростим выражение: f(x) = (√x/6 - 5x^2 + x/6 + 14)

Затем, используя правила дифференцирования, найдем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим результаты:

f"(x) = (√x/6)" - (5x^2)" + (x/6)" + (14)"

Дифференцируем поочередно каждое слагаемое:

(√x/6)" = (1/6)*(√x)" = (1/6)*(1/2√x) = 1/12√x

(5x^2)" = 10x

(x/6)" = 1/6

(14)" = 0

Теперь сложим результаты:

f"(x) = 1/12√x - 10x + 1/6 + 0

Окончательный ответ:

f"(x) = 1/12√x - 10x + 1/6

Для нахождения значения производной в точке x0=1 подставим x=1 в полученное выражение:

f"(1) = 1/12√1 - 10*1 + 1/6

f"(1) = 1/12 - 10 + 1/6

f"(1) = 1/12 - 120/12 + 2/12

f"(1) = -117/12

Совет: При решении задач на производные функций помните правила дифференцирования и не забывайте проверять свои вычисления.

Ещё задача: Найдите производную функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5. Затем, найдите значение производной в точке x0 = 2.

Тема: Производная функции

Объяснение: Производная функции - это показатель скорости изменения функции в данной точке. Она позволяет определить, как функция меняется при изменении аргумента. Для нашей задачи, мы должны найти производную функции f(x)=√x/6-5x^2+x/6+14 и вычислить ее значение в точке x0=1.

Для начала, воспользуемся правилами дифференцирования. Для квадратного корня исходной функции, мы можем использовать формулу: (d/dx)√u = (1/2√u) * (du/dx), где u - подынтегральное выражение, а (du/dx) - производная этого выражения.

Применим это правило к каждой отдельной части функции и вычислим производные:
(d/dx)√(x/6) = (1/2√(x/6)) * (1/6), как производная x/6 равна 1/6
(d/dx)√(-5x^2) = (1/2√(-5x^2)) * (-10x), как производная (-5x^2) равна -10x
(d/dx)√(x/6) = (1/2√(x/6)) * (1/6), как производная x/6 равна 1/6
(d/dx)14 = 0, потому что производная константы равна нулю.

Теперь, найденные производные, мы можем объединить и подставить x=1, чтобы найти значение производной функции в точке x0=1:
(f"(x))x=1 = ((1/2√(1/6)) * (1/6)) + ((1/2√(-5*1^2)) * (-10*1)) + ((1/2√(1/6)) * (1/6)) + 0
(f"(1)) = (1/12√(1/6)) - (5/√(1/6)) + (1/12√(1/6))
(f"(1)) = (1/12√(1/6)) * (1 - 60 + 1)
(f"(1)) = (1/12√(1/6)) * (-58)
(f"(1)) = -58/12√(1/6)

Таким образом, производная функции f(x) в точке x0=1 равна -58/12√(1/6).

Совет: При решении задач на производные, полезно вспомнить правила дифференцирования и стандартные производные. Регулярные тренировки и упражнения помогут вам лучше понять процесс дифференцирования и научиться применять его в различных ситуациях.

Ещё задача: Найдите производную функции g(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3 и вычислите ее значение в точке x = 2.