Что такое площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=-1/2^2+x+5 1/2 и y=x^2-2x+1?

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=-1/2^2+x+5 1/2 и y=x^2-2x+1

Разъяснение: Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций, можно вычислить с помощью определенного интеграла. Для заданной проблемы, нам нужно сначала найти точки пересечения двух функций, а затем вычислить интеграл от одной функции до другой в пределах этих точек.

Чтобы найти точки пересечения, приравняем значения функций y:

-1/2^2+x+5 1/2 = x^2-2x+1

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

x^2 - 2x + 1 - x - 5 1/2 = 0

x^2 - 3x - 4 1/2 = 0

Решим уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4 1/2)
D = 9 + 18
D = 27

Так как дискриминант положительный, у нас будет два вещественных корня. Используя формулу квадратного корня:

x = (-(-3) ± √27) / 2 * 1
x = (3 ± 3√3) / 2

Итак, у нас есть две точки пересечения: (3 + 3√3)/2 и (3 - 3√3)/2.

Далее, нам нужно найти значение функции y на этих точках. Подставим значение x в одну из исходных функций:

y = (-1/2^2) + (3 + 3√3)/2 + 5 1/2
y = -1/2 + (3 + 3√3)/2 + 5 1/2

Это даст нам значение y на первой точке пересечения.
Аналогично, найдем значение y на второй точке пересечения.

Теперь мы готовы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций. Интеграл от одной функции до другой будет выглядеть следующим образом:

Площадь = ∫(нижний предел, верхний предел) f(x) - g(x) dx

Где f(x) и g(x) - это функции, ограничивающие фигуру. Нижний предел и верхний предел - это значения x, где функции пересекаются.

Вычислив этот интеграл, получим искомую площадь фигуры.

Совет: Для лучшего понимания и уверенности в решении подобных задач, рекомендуется повторить материал о нахождении пересечений функций, вычислении определенных интегралов и решении квадратных уравнений. Также полезно изучить график функций, чтобы лучше представлять визуально фигуру, ограниченную графиками функций.

Проверочное упражнение: Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций: y = -x^2 + 5x - 3 и y = x^2 - 4x + 2.