Чи можна довести, що вираз 5^30-5^29-5^28 є кратним числу

Тема: Доказательство делимости чисел в алгебре

Пояснение: Для доказательства того, что выражение \(5^{30} - 5^{29} - 5^{28}\) кратно числу, мы можем воспользоваться алгебраическим подходом.

Покажем, что данное выражение делится на 4 без остатка. Для этого рассмотрим выражение \(5^{30} - 5^{29} - 5^{28}\) в виде \((5^{29} \cdot 5) - (5^{29} \cdot 1) - (5^{28} \cdot 5^1)\).

Возьмём наименьшее общее кратное (НОК) между 4 и 5 и запишем это в виде \(4 \cdot k\), где k - какое-то целое число.

Теперь заменим 5 на \(4 \cdot k\), получим \((5^{29} \cdot (4 \cdot k)) - (5^{29} \cdot 1) - (5^{28} \cdot (4 \cdot k)^1)\).

После раскрытия скобок получим \((4 \cdot k \cdot 5^{29}) - (4 \cdot k) - (4 \cdot k \cdot 5^{28})\).

Теперь вынесем общий множитель \(4 \cdot k\), \((4 \cdot k) \cdot (5^{29} - 1 - 5^{28})\).

Видим, что общий множитель \(4 \cdot k\) можно вынести за скобки, что говорит о том, что исходное выражение кратно числу 4 без остатка.

Мы доказали, что выражение \(5^{30} - 5^{29} - 5^{28}\) делится на 4 без остатка.

Пример: Докажите, что выражение \(2^{10} - 2^9 - 2^8\) является кратным числу.

Совет: В данном случае, для доказательства делимости числа на другое число, полезно разложить выражение на множители и использовать алгебраические законы для упрощения.

Задача на проверку: Докажите, что выражение \(3^{25} - 3^{24} - 3^{23}\) кратно числу.