Чему равно cos⁡α, если sin α = √2/3 и 0 < α < π/2?

Тема: Тригонометрия

Пояснение: Для решения этой задачи, нам необходимо использовать тригонометрическое соотношение для нахождения cosinus по значению sinusa. Сначала нам дано значение sin α, равное √2/3. Затем нам известно, что угол α находится в интервале от 0 до π/2, что означает, что угол α острый.

Тригонометрическое соотношение для острого угла α в прямоугольном треугольнике гласит:
sin α = противоположная сторона / гипотенуза

Используя данную информацию, мы можем составить следующее уравнение:
√2/3 = противоположная сторона / гипотенуза

Для решения этого уравнения, нужно избавиться от противоположной стороны и гипотенузы домножив обе стороны на √2:
√2/3 * √2 = противоположная сторона

После упрощения получаем:
2/3 = противоположная сторона

Затем используем теорему Пифагора, которая гласит:
гипотенуза^2 = противоположная сторона^2 + прилежащая сторона^2

Подставляя значения:
гипотенуза^2 = (2/3)^2 + прилежащая сторона^2
гипотенуза^2 = 4/9 + прилежащая сторона^2

Дальше мы знаем, что гипотенуза это 1, так как она является гипотенузой для прямоугольного треугольника с катетами 1 и √2/3:
1 = 4/9 + прилежащая сторона^2

Теперь решим это уравнение:
прилежащая сторона^2 = 1 - 4/9
прилежащая сторона^2 = 5/9

Извлекая квадратный корень получаем:
прилежащая сторона = √(5/9)

Теперь, чтобы найти значение cos α, мы можем использовать следующее тригонометрическое соотношение:
cos α = прилежащая сторона / гипотенуза

Подставляя значения:
cos α = (√(5/9)) / 1
cos α = √(5/9)

Таким образом, получаем, что cos α равняется √(5/9).

Совет: Чтобы лучше понять тригонометрические соотношения и связанные с ними задачи, полезно визуализировать углы и соотношения на координатной плоскости.

Проверочное упражнение: На сколько равно sin(π/6)?