А) Существуют ли у функции наибольшие и наименьшие значения на графике y=f(x) на интервале [-5;3]? Если да, то каковы

Тема: Анализ функций

Объяснение:
А) Чтобы определить наибольшие и наименьшие значения функции на графике y=f(x) на интервале [-5;3], необходимо найти экстремумы функции. Экстремумы функции могут быть локальными (внутри заданного интервала) или глобальными (на всем интервале). Для этого нужно произвести анализ производных функции. Если производная меняет знак с положительного на отрицательный, то это говорит о том, что функция достигает локального максимума. Если производная меняет знак с отрицательного на положительный, это указывает на локальный минимум. Если производная положительна на всем интервале, значит, функция возрастает, а если производная отрицательна, то функция убывает.

Б) Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение f(x)=0. Это значит, что нужно найти значения x, при которых функция пересекает ось абсцисс.

В) Функция возрастает на интервалах, где её производная положительна. То есть, если f'(x)>0 на заданном интервале, то функция возрастает на этом интервале.

Г) Функция убывает на интервалах, где её производная отрицательна. То есть, если f'(x)<0 на заданном интервале, то функция убывает на этом интервале.

Пример использования:
А) На интервале [-5;3] функция имеет наибольшие значения в точке x=a и наименьшие значения в точке x=b. Найдем эти значения.

Б) Пусть функция f(x)=x^2-4x+3. Найдем значения x, при которых функция равна нулю.

В) Функция f(x)=3x^2-2x+1 возрастает на интервалах [-∞;-1/3] и [1/2;+∞].

Г) Функция f(x)=3x^2-2x+1 убывает на интервале [-1/3;1/2].

Совет: Для более полного понимания анализа функций, рекомендуется изучить теорию производных и их значения на графиках функций.

Упражнение:
Дана функция f(x)=-2x^3+9x^2+12x-4. Найдите наибольшие и наименьшие значения функции на интервале [-2;4]. Какие значения x являются нулями функции? На каких интервалах функция возрастает или убывает?