А) Покажите, что последовательность xn=5-n является последовательностью, стремящейся к бесконечности, используя

Тема: Последовательности, стремящиеся к бесконечности

Объяснение:
Последовательность xn = 5-n является последовательностью, стремящейся к бесконечности. Чтобы это показать, мы используем определение бесконечно большой последовательности в терминах "M-N".

Определение: Последовательность xn называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М найдется такое натуральное число N, что xn > М для всех n ≥ N.

Давайте рассмотрим последовательность xn = 5-n и определим М и N для данной последовательности:

Для любого положительного числа M, мы знаем, что 5-n > М.

Рассмотрим логарифмы с обеих сторон неравенства: log(5-n) > log(М).
Теперь упростим левую часть неравенства, используя свойства логарифма:
-n * log(5) > log(М).

Теперь разделим обе части неравенства на -log(5) (учитывая, что log(5) < 0):
n < log(М) / log(5).

Это неравенство имеет смысл для всех n ≥ N, где N = ceil(log(М) / log(5)).

Таким образом, мы нашли положительное число N (зависящее от М), для которого xn > М для всех n ≥ N. Следовательно, последовательность xn = 5-n является последовательностью, стремящейся к бесконечности.

Пример использования:
а) Для М = 1000, нам нужно найти N. Рассчитаем его:
N = ceil(log(1000) / log(5)) ≈ 8.
Таким образом, когда n ≥ 8, xn > 1000.

б) Предел последовательности lim xn при n стремящемся к положительной бесконечности не существует. Поскольку xn является бесконечно большой последовательностью, значит, она не имеет точечного предела.

Совет:
Для понимания последовательностей, стремящихся к бесконечности, важно знать определение и свойства бесконечно больших последовательностей. Кроме того, полезно знать свойства логарифмов, особенно логарифма с основанием 5, который возникает в данной задаче. Регулярное применение математических техник и упражнений поможет укрепить понимание этой концепции.

Задание:
Покажите, что последовательность xn = n^2 является последовательностью, стремящейся к бесконечности, используя определение бесконечно большой в терминах "M-N". Определите значение предела lim xn при n стремящемся к положительной бесконечности.