A) Найдите значения x, при которых уравнение 2log4^2(4sinx)-3log4(sinx)-2=0 выполняется. Б) Определите все значения

Тема: Решение тригонометрического уравнения

Объяснение: Дано уравнение 2log4^2(4sinx)-3log4(sinx)-2=0. Чтобы найти значения x, при которых это уравнение выполняется, мы должны решить его. Давайте пошагово приступим к его решению.

Первый шаг - преобразование логарифмических выражений. Заменим log4^2(4sinx) на 2log4(4sinx) и log4(sinx) на log4(sqrt(sinx)). Теперь наше уравнение будет выглядеть следующим образом: 2log4(4sinx)-3log4(sqrt(sinx))-2=0.

Второй шаг - преобразование логарифмических правил. Используя свойства логарифмов, мы можем записать уравнение как: log4((4sinx)^2)-log4((sqrt(sinx))^3)-2=0.

Третий шаг - объединение логарифмов. Мы можем объединить логарифмические выражения, используя свойство вычитания логарифмов: log4(((4sinx)^2)/((sqrt(sinx))^3))-2=0.

Четвертый шаг - упрощение выражения. Мы можем упростить выражение ((4sinx)^2)/((sqrt(sinx))^3) до (16sin^2x)/(sin^(3/2)x). Теперь у нас есть уравнение: log4((16sin^2x)/(sin^(3/2)x))-2=0.

Пятый шаг - применение свойства логарифма. Мы применяем свойство логарифма, которое гласит: loga(b)=c эквивалентно a^c=b. Применим это свойство и получим: (16sin^2x)/(sin^(3/2)x)=4^2.

Шестой шаг - упрощение уравнения. Мы можем упростить (16sin^2x)/(sin^(3/2)x)=4^2 до 16sin^(1/2)x=16.

Седьмой шаг - решение уравнения. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (16sin^(1/2)x)^2=16^2. Мы получаем 16sinx=256.

Восьмой шаг - нахождение значения x. Для нахождения значения x разделим обе части уравнения на 16: sinx=16/16. Отсюда получаем sinx=1.

Девятый шаг - нахождение значений x. Решим уравнение sinx=1 на заданном интервале [-3pi/2 ; 3pi/4]. На этом интервале у нас есть две возможных точки, в которых sinx равно 1: x=pi/2 и x=3pi/2.

Поэтому значения x, при которых уравнение 2log4^2(4sinx)-3log4(sinx)-2=0 выполняется, равны x=pi/2 и x=3pi/2.

Пример использования: Найдите значения x, при которых уравнение 2log4^2(4sinx)-3log4(sinx)-2=0 выполняется.

Совет: При решении тригонометрических уравнений, важно быть внимательным при преобразовании логарифмических выражений и применении свойств логарифма. Также не забывайте упрощать уравнения и проверять полученные значения x на заданном интервале, чтобы убедиться, что они являются допустимыми корнями.

Упражнение: Найдите значения x, при которых уравнение log2(x-3)=log2(2x+1) выполняется.