А) Найдите значения x для которых √6sin^2x+cosx=2sin(x+π/6) и под корнем находится только число 6. б) Определите

Тема вопроса: Решение тригонометрических уравнений

Разъяснение: Для решения данного уравнения, мы будем использовать некоторые свойства тригонометрии и алгебры. Для начала, давайте приведем уравнение к более простому виду.

а) Заметим, что √6sin^2x можно записать как √6(sin^2x), используя свойство ассоциативности умножения. Теперь мы можем привести выражение под корнем к виду sinx√6, так как корень и квадрат синуса взаимно уничтожают друг друга. Получаем: sinx√6 + cosx = 2sin(x + π/6).

Далее, применим формулу суммы для синуса: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b). Подставим это в уравнение: sinx√6 + cosx = 2[sinxcos(π/6) + cosxsin(π/6)].

Далее, раскроем скобки, учитывая, что cos(π/6) = √3/2 и sin(π/6) = 1/2: sinx√6 + cosx = 2[√6sinx/2 + √3cosx/2].

Приведем подобные слагаемые: sinx√6 + cosx = √6sinx + √3cosx.

Теперь вычтем sinx√6 из обеих частей уравнения: cosx = √6sinx + √3cosx - sinx√6.

Далее, вынесем cosx влево, а √6sinx вправо: cosx - √3cosx = √6sinx - sinx√6.

Факторизуем cosx и sinx: cosx(1 - √3) = sinx(√6 - √6).

Поделим обе части на (1 - √3): cosx = sinx(-√6/(1 - √3)).

Таким образом, мы получили новое уравнение: cosx = -sinx(√6/(1 - √3)).

b) Для решения данного уравнения, мы можем использовать аналогичные шаги, что и в предыдущей части, только заменив уравнение на cos(x) = -sin(x)(√6/(1 - √3)) и интервал на (3π ; 9π/2).

Доп. материал:

а) Найдите значения x для которых √6sin^2x+cosx=2sin(x+π/6), где под корнем находится только число 6.

Совет: При работе с тригонометрическими уравнениями полезно знать основные тригонометрические тождества и формулы, такие как формулы суммы и разности для синуса и косинуса и свойства корней.

Задача для проверки: Определите значения x, которые являются корнями уравнения cos(x) = -sin(x)(√6/(1 - √3)) на интервале (3π ; 9π/2).