а) Найдите точки экстремума функции f(x)=x^3+9x^2 + 15x-5 на интервале [-2; 3]. б) Определите наибольшие и наименьшие

Предмет вопроса: Точки экстремума функции и наибольшие/наименьшие значения

Пояснение: Для нахождения точек экстремума функции и наибольших/наименьших значений на заданном интервале, мы берем производную функции и приравниваем ее к нулю, чтобы найти критические точки функции. Затем мы исследуем знаки производной в окрестности этих точек, чтобы определить тип экстремума (максимум или минимум) и наименьшие/наибольшие значения функции на интервале.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x)=x^3+9x^2 + 15x-5:
f"(x) = 3x^2 + 18x + 15

Шаг 2: Решим уравнение f"(x) = 0, чтобы найти критические точки функции:
3x^2 + 18x + 15 = 0

Шаг 3: Решим это квадратное уравнение:
(x+2)(3x+5) = 0

Из этого получаем две критические точки: x = -2 и x = -5/3.

Шаг 4: Теперь исследуем знаки производной в окрестности критических точек, чтобы определить тип экстремума и наименьшие/наибольшие значения функции:

- При x < -2, производная f"(x) = 3x^2 + 18x + 15 > 0, значит функция возрастает на этом интервале.
- При -2 < x < -5/3, производная f"(x) = 3x^2 + 18x + 15 < 0, значит функция убывает на этом интервале.
- При x > -5/3, производная f"(x) = 3x^2 + 18x + 15 > 0, значит функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, точка x = -2 является точкой минимума, а наименьшее значение функции f(x) достигается в этой точке. Точка x = -5/3 является точкой максимума, а наибольшее значение функции f(x) достигается в этой точке.

Совет: Чтобы лучше понять процесс нахождения точек экстремума и наибольших/наименьших значений функции, полезно изучить тему дифференциального исчисления и его применение к определению экстремумов функций.

Дополнительное упражнение: Найдите наибольшие и наименьшие значения функции f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x - 5 на интервале [-2; 3].

Содержание: Определение экстремумов функции

Объяснение:
Чтобы найти точки экстремума функции, нам необходимо проанализировать ее производную. Экстремумы функции могут быть максимумом или минимумом.

Шаги решения:
1. Найдите производную функции f(x). Для функции f(x)=x^3+9x^2 + 15x-5, производная будет f"(x) = 3x^2 + 18x + 15.
2. Решите уравнение f"(x) = 0 для определения точек экстремума. Поставим f"(x) = 0 и решим уравнение: 3x^2 + 18x + 15 = 0.
3. Для решения этого квадратного уравнения можно использовать факторизацию, полный квадрат или квадратное уравнение, используя дискриминант.
4. Разбиваем решенное уравнение на две части, например, (3x + 3)(x + 5) = 0.
5. Найдите корни уравнения: x1 = -5 и x2 = -1.
6. Проверьте значения f(x) на интервале [-2; 3] и найдите экстремумы. Вычислите значения функции f(x) для x1, x2 и концов интервала [-2; 3]. Сравните значения, чтобы найти наибольший и наименьший экстремумы.

Демонстрация:
а) Найдите точки экстремума функции f(x)=x^3+9x^2 + 15x-5 на интервале [-2; 3].
Шаг 1: Найдем производную функции f(x): f"(x) = 3x^2 + 18x + 15.
Шаг 2: Решим уравнение f"(x) = 0: 3x^2 + 18x + 15 = 0.
Шаг 3: Разобьем уравнение на две части: (3x + 3)(x + 5) = 0.
Шаг 4: Найдем корни уравнения: x1 = -5 и x2 = -1.
Шаг 5: Проверим значения f(x) на интервале [-2; 3]: f(-2) = -33, f(-1) = -16, f(3) = 43.
Шаг 6: Найдем наибольший и наименьший экстремумы: наименьший экстремум -33, наибольший экстремум 43.

б) Определите наибольшие и наименьшие значения функции f(x)=x^3+9x^2 + 15x-5 на интервале [-2; 3].
Наибольший экстремум: 43.
Наименьший экстремум: -33.

Совет: Для более легкого нахождения экстремумов функции, важно уметь вычислять производные функций и решать квадратные уравнения. Определение экстремумов требует внимательности при работе с производными и расчетами.

Дополнительное задание: Найдите точки экстремума функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x на интервале [-4; 4].