а) Напишите уравнение касательной к кривой y=2x²-3 в точке, где ордината равна 1. б) Составьте уравнение касательной

Тема: Касательные к кривым
Объяснение:
Касательная к кривой является прямой линией, которая касается графика функции в определенной точке и имеет тот же наклон, что и кривая в этой точке. Чтобы найти уравнение касательной, мы можем использовать производную функции в данной точке.

Найдем производную функции y=2x²-3 по переменной x:
y' = 4x

a) Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y=2x²-3 в точке, где ордината равна 1, нам необходимо найти значение x для этой точки, а затем вычислить наклон (производную) и использовать его в уравнении. Подставим y=1 в исходную функцию и решим ее:

1 = 2x² - 3

2x² = 4

x² = 2

x = ±√2

Теперь найдем наклон функции в этой точке, вычислив первую производную:

y'(√2) = 4√2
или
y'(-√2) = -4√2

Так как у нас есть значения x и наклоны, мы можем написать уравнение касательной в точке (x₀, y₀):

a₁(x - x₀) + y₀ = y,

где a₁ - наклон касательной, x₀ и y₀ - координаты точки на кривой.

a₁(√2 - x₀) + 1 = y
a₁(-√2 - x₁) + 1 = y

Подставьте найденные значения x₀, x₁ и a₁ в уравнение, чтобы получить уравнение касательной.

б) Аналогично, для составления уравнения касательной к графику функции y=2x²-3 в точке с ординатой -3, мы найдем значение x, затем вычислим наклон (производную) и используем его в уравнении. Подставим y=-3 в исходную функцию и решим ее:

-3 = 2x² - 3

2x² = 0

x = 0

Теперь найдем наклон функции в этой точке, вычислив первую производную:

y'(0) = 4(0)
или
y'(0) = 0

Мы получили наклон равным 0, что означает, что у нас вертикальная прямая. Уравнение для вертикальной прямой имеет вид x = x₀, где x₀ - координата точки на вертикальной прямой на графике функции.

Таким образом, уравнение касательной в точке (0, -3) будет x = 0.

Совет:
Для лучшего понимания построения уравнений касательных, рекомендуется проводить дополнительные упражнения, используя различные функции и точки. Практика поможет вам улучшить свою понимание процесса и научиться быстро и правильно находить уравнения касательных.

Задание для закрепления:
a) Напишите уравнение касательной к графику функции y=3x²+2 в точке, где абсцисса равна 2.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции y=3x²+2 в точке с абсциссой -1.