А) Какие значения x удовлетворяют уравнению 4cos2x+10cos(x+3π)+4=0? б) Какие корни этого уравнения принадлежат

Тема занятия: Решение тригонометрического уравнения

Разъяснение:

а) Данное уравнение является тригонометрическим и содержит косинусы. Чтобы найти значения x, удовлетворяющие уравнению, мы должны решить его.

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно. Уравнение содержит два слагаемых с cos и одно слагаемое без. Начнем с того, что уберем слагаемое без cos, чтобы оставшиеся слагаемые равнялись нулю.

4cos2x + 10cos(x+3π) = -4

Затем преобразуем каждое слагаемое отдельно. Первое слагаемое может быть записано как 4(cos^2(x) - sin^2(x)). Нам также будет полезно использовать тригонометрическую формулу: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b).

Подставим значения второго слагаемого и воспользуемся формулой:

4[cos^2(x) - (1 - sin^2(x))] - 10sin(x)cos(3π) + 10cos(x)sin(3π) = -4

4cos^2(x) - 4(1 - sin^2(x)) - 10sin(x)*(-1) + 10cos(x)*0 = -4

4cos^2(x) + 4sin^2(x) + 10sin(x) = 0

Упростим уравнение, применив тригонометрическую формулу sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

4(cos^2(x) + 1 - cos^2(x)) + 10sin(x) = 0

4 + 10sin(x) = 0

10sin(x) = -4

sin(x) = -4/10

sin(x) = -2/5

Теперь найдем значения x из этого уравнения. Рассмотрим значение синуса в диапазоне от -1 до 1. Исходя из этого, мы можем сказать, что значение -2/5 недопустимо для синуса, так как оно попадает за границы допустимых значений.

б) Чтобы найти корни уравнения, принадлежащие интервалу [−3π/2, 3π/2], нужно рассмотреть значения x, удовлетворяющие этому условию.

Рассмотрим уравнение, полученное на предыдущем шаге:

10sin(x) = -4

sin(x) = -4/10

sin(x) = -2/5

Для этих значений sin(x) мы можем использовать обратную функцию sin^-1. Возьмем sin^-1(-2/5) и найдем значения x:

x = sin^-1(-2/5) ≈ -0.4115, -2.7309

Округлим полученные значения до трех десятичных знаков для удобства записи.

Поэтому, значения x, которые удовлетворяют уравнению и принадлежат интервалу [-3π/2, 3π/2], равны примерно -0.411 и -2.731.

Пример:

а) Найдите значения x, удовлетворяющие уравнению 4cos2x+10cos(x+3π)+4=0.
б) Какие корни этого уравнения принадлежат интервалу [−3п/2, 3п/2]?

Советы:
- При решении тригонометрических уравнений, определите, какие тригонометрические формулы могут быть полезны.
- Не забывайте рассматривать ограничения допустимых значений для функций тригонометрии.

Дополнительное задание:
Найдите значения x, которые удовлетворяют уравнению 3cos(2x-π/3) - 2sin(x+π/6) = 1 и принадлежат интервалу [0, 2π].