а) Что является координатами вершины параболы функции f(x) = х² - 6х - 7? б) Что нужно построить на графике функции

Тема: Парабола и исследование функции
Инструкция:
а) Чтобы найти координаты вершины параболы функции f(x) = х² - 6х - 7, нужно воспользоваться формулами. Вершина параболы имеет координаты (h, k), где h = -b/(2a), а k = f(h). В данном случае, коэффициенты функции равны a = 1, b = -6, и c = -7. Подставим их в формулы и найдем координаты вершины.

h = -(-6) / (2 * 1) = 3
k = f(3) = 3² - 6 * 3 - 7 = -16

Таким образом, координаты вершины параболы функции f(x) = х² - 6х - 7 равны (3, -16).

б) На графике функции f(x) = х² - 6х - 7 нужно построить параболу. Парабола имеет форму "U" и проходит через вершину, которую мы уже нашли. Также можно построить оси координат и отметить ось симметрии, о которой пойдет речь позже.

с) Область значений функции f(x) = х² - 6х - 7 является множеством всех возможных значений функции. В данном случае, так как функция является параболой, она имеет ветви, которые открываются вверх, а значит, что она имеет минимальное значение в вершине и не ограничена сверху. Множество значений функции f(x) = х² - 6х - 7 - это множество всех действительных чисел от -∞ до k, где k является y-координатой вершины.

д) Осью симметрии параболы функции f(x) = х² - 6х - 7 является вертикальная прямая, перпендикулярная оси ординат и проходящая через вершину параболы. Координаты оси симметрии можно найти из формулы h = -b/(2a), где h - это координата x вершины. В данном случае, координаты вершины мы уже нашли и они равны (3, -16), поэтому осью симметрии будет прямая x = 3.

е) Чтобы найти промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции f(x) = х² - 6х - 7, нужно анализировать значение первой производной функции и построение таблицы знаков. Сначала найдем первую производную функции f"(x):

f"(x) = 2x - 6

Затем найдем значения x, при которых f"(x) = 0 и построим таблицу знаков:

x | -∞ | 3 | +∞
f"(x) | - | 0 | +

Так как f"(x) меняет знак с "-" до "0" и от "0" до "+", то на интервалах (-∞, 3) и (3, +∞) функция f(x) = х² - 6х - 7 монотонно возрастает, а на интервале (3, +∞) функция монотонно убывает.

Демонстрация:
а) Координаты вершины параболы функции f(x) = x² - 6x - 7?
б) Что нужно построить на графике функции f(x) = x² - 6x - 7?
с) Какую область и множество значений имеет функция f(x) = x² - 6x - 7?
д) Что является осью симметрии функции f(x) = x² - 6x - 7?
е) Где находятся промежутки монотонности (возрастания и убывания) функции f(x) = x² - 6x - 7?

Совет: Чтобы лучше понять параболы и исследование функций, рекомендуется изучить основные понятия алгебры и геометрии, такие как коэффициенты параболы, вершина, ось симметрии, дискриминант и таблицы знаков. Практика решения различных задач и их графическое изображение также поможет закрепить полученные знания.

Упражнение: Найти координаты вершины параболы функции g(x) = 2x² + 4x - 3.