18.5. Rewrite the quadratic inequalities: 1) solve x2 - x - 56 0; 2) - x2 + x + 72 > 0; 3) x2 + x - 90 < 0; 4) x2

Тема вопроса: Квадратные неравенства

Объяснение: Квадратные неравенства включают квадраты переменных и соответствующие коэффициенты. Чтобы решить их, необходимо использовать некоторые методы.

1) Решим неравенство x^2 - x - 56 > 0:
Сначала находим корни уравнения x^2 - x - 56 = 0, получаем x = -7 и x = 8.
Затем строим числовую ось и отмечаем на ней найденные корни.
Далее выбираем тестовую точку на каждом из интервалов, образованных корнями. Например, выберем -10 и 0.
Подставим эти значения в исходное неравенство: (-10)^2 - (-10) - 56 > 0 и 0^2 - 0 - 56 > 0.
Можно заметить, что оба значения ложны, поэтому ответом будет промежуток (-∞, -7) ∪ (8, +∞).

2) Решим неравенство -x^2 + x + 72 > 0:
Приведем неравенство к виду x^2 - x - 72 < 0.
Найдем корни уравнения x^2 - x - 72 = 0, получаем x = -8 и x = 9.
Построим числовую ось и отметим корни.
Выберем тестовую точку на каждом из интервалов, образованных корнями. Например, -10 и 0.
Подставим эти значения в исходное неравенство: (-10)^2 - (-10) - 72 < 0 и 0^2 - 0 - 72 < 0.
Оба значения истинны, поэтому ответом будет промежуток (-8, 9).

3) Решим неравенство x^2 + x - 90 < 0:
Найдем корни уравнения x^2 + x - 90 = 0, получаем x = -10 и x = 9.
Построим числовую ось и отметим корни.
Выберем тестовую точку на каждом из интервалов, образованных корнями. Например, -11 и 0.
Подставим эти значения в исходное неравенство: (-11)^2 + (-11) - 90 < 0 и 0^2 + 0 - 90 < 0.
Оба значения истинны, поэтому ответом будет промежуток (-10, 9).

4) Решим неравенство x^2 + x - 210 < 0:
Найдем корни уравнения x^2 + x - 210 = 0, получаем x = -15 и x = 14.
Построим числовую ось и отметим корни.
Выберем тестовую точку на каждом из интервалов, образованных корнями. Например, -16 и 0.
Подставим эти значения в исходное неравенство: (-16)^2 + (-16) - 210 < 0 и 0^2 + 0 - 210 < 0.
Оба значения истинны, поэтому ответом будет промежуток (-15, 14).

5) Решим уравнение 2x^2 - 7x + 6 = 0:
Можно решить данное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 или факторизацию.
Получим решения x = -1/2 и x = 3/2.

6) Решим неравенство 25x^2 + 90x + 81 < 0:
Найдем корни уравнения 25x^2 + 90x + 81 = 0, получаем x = -3/5.
Построим числовую ось и отметим корень.
Выберем тестовую точку на каждом интервале: -1 и 0.
Подставим эти значения в исходное неравенство: 25(-1)^2 + 90(-1) + 81 < 0 и 25(0)^2 + 90(0) + 81 < 0.
Оба значения ложны, поэтому ответом будет пустой интервал, т.е. нет решений.

7) Решим неравенство 5x - 12x + 4 > 0:
Сократим слагаемые: -7x + 4 > 0.
Перепишем в обратном порядке: 4 - 7x > 0.
Далее, разделим обе части на -1, чтобы изменить знак неравенства.
Получим -4 + 7x < 0.
Решается как неравенство 7x - 4 < 0: x < 4/7.

8) Решим неравенство 36x^2 - 84x + 49 > 0:
Приведем неравенство к виду 36x^2 - 84x + 49 = 0.
Найдем корень уравнения 36x^2 - 84x + 49 = 0, получаем x = 7/6.
Построим числовую ось и отметим корень.
Выберем тестовую точку на каждом интервале: 1 и 2.
Подставим эти значения в исходное неравенство: 36(1)^2 - 84(1) + 49 > 0 и 36(2)^2 - 84(2) + 49 > 0.
Оба значения истинны, поэтому ответом будет промежуток (-∞, 7/6) ∪ (7/6, +∞).

9) Решим уравнение 0.25x^2 - x > -1:
Можно привести данное уравнение к виду 0.25x^2 - x + 1 > 0.
Затем решим квадратное уравнение, получим два корня.
Обратите внимание, что иногда необходимо проверить корни в исходном неравенстве, чтобы исключить корни, которые не являются решениями.

10) Решим неравенство 7x^2 + 18x < -5:
Приведем неравенство к виду 7x^2 + 18x + 5 < 0.
Найдем корни этого квадратного уравнения, затем проведем тестовую точку из каждого интервала, чтобы определить знак между точками.

11) Решим уравнение -3x^2 + 11x + 4 = 0:
Решим данное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 или факторизацию.
Получим два решения.

12) Решим уравнение 9x^2 - 4x - 2 = 0:
Решим данный квадратное уравнение, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 или факторизацию.
Получим два решения.

13) Неравенство z^2 + 7 + 4 < 0 нельзя решить, так как сумма квадратов и положительных чисел не может быть отрицательной.

14) Решим неравенство z^2 - b + 3 > 0:
В данном неравенстве значение переменной b необходимо уточнить, чтобы решить.

15) Уравнение 92 - b + 1 не является квадратным уравнением и не имеет переменной x для решения.

Совет: В задачах на решение квадратных неравенств полезно привести уравнения к виду ax^2 + bx + c = 0. Не забывайте проводить тестовые точки, чтобы определить знак между корнями.

Ещё задача: Решите неравенство 4x^2 - 12x + 7 < 0.