152. Найдите интервалы знакопостоянства функции y=f(x): 3) f(x)=x^1/7 5) f(x)=x^5/8+2 7) f(x)=(3-x)^-5/6x

Содержание вопроса: Интервалы знакопостоянства и возрастания/убывания функции.

Разъяснение:

Интервал знакопостоянства функции y=f(x) - это промежутки значений переменной x, на которых функция имеет один и тот же знак. Чтобы найти эти интервалы, мы должны решить неравенства, связанные с функцией.

Интервалы возрастания и убывания функции y=f(x) - это промежутки значений переменной x, на которых функция возрастает (y растет) или убывает (y уменьшается). Чтобы их найти, мы должны проанализировать производную функции.

Пример:

1) Для функции f(x)=x^(1/7):

- По условию, нам нужно найти интервалы знакопостоянства функции.
- Функция f(x) >= 0, так как корень из любого положительного числа неотрицательный.
- Интервал знакопостоянства функции f(x) - это отрицательные и положительные значения переменной x: (-∞, +∞).

2) Для функции f(x)=x^(5/8)+2:

- По условию, нам нужно найти интервалы знакопостоянства функции.
- Функция f(x) >= 2, так как значение функции всегда больше или равно 2.
- Интервал знакопостоянства функции f(x) - это положительные значения переменной x: [0, +∞).

3) Для функции f(x)=(3-x)^(-5/6)x:

- По условию, нам нужно найти интервалы знакопостоянства функции.
- Функция f(x) > 0, когда (3-x)^(-5/6) и x имеют один и тот же знак.
- Интервал знакопостоянства функции f(x) - это значения переменной x, при которых (3-x)^(-5/6) > 0.
- Из этого неравенства получаем интервал знакопостоянства: (3, +∞).

4) Для функции f(x)=(x+2)^(-3/5):

- По условию, нам нужно найти интервалы знакопостоянства функции.
- Функция f(x) > 0, когда (x+2)^(-3/5) > 0.
- Из этого получаем интервал знакопостоянства: (-∞, -2) (-2, +∞).

5) Для функции f(x)=3+x^(1/9):

- По условию, нам нужно найти интервалы возрастания и убывания функции.
- Производная функции f"(x) = (1/9)x^(-8/9).
- Функция f"(x) > 0, когда (1/9)x^(-8/9) > 0.
- Это выполняется для положительных значений переменной x, поэтому функция возрастает на интервале (0, +∞).
- Функция f"(x) < 0, когда (1/9)x^(-8/9) < 0.
- Это выполняется для отрицательных значений переменной x, поэтому функция убывает на интервале (-∞, 0).

Аналогичным образом можно найти интервалы возрастания и убывания для остальных функций.

Совет:

- Для анализа производной функции можно использовать правила дифференцирования и знание знаков и степеней исходной функции.
- При решении неравенств можно использовать свойства исследуемой функции и знание знаков и степеней переменной.
- Внимательно обращайте внимание на равенства и округления при работе с корнями и дробными степенями.

Дополнительное задание:

Найдите интервалы знакопостоянства и интервалы возрастания/убывания функции для следующих функций:

1) f(x)=x^4

2) f(x)=2-x^2

3) f(x)=(x-3)^3

4) f(x)=1/(x^2+1)