1. В каком случае считается, что последовательность задана? 2. Какие виды последовательностей вам известны?

Последовательность: Это упорядоченный набор чисел, в котором каждое число имеет свой порядковый номер или индекс. Для того чтобы считать, что последовательность задана, необходимо указать само выражение, определяющее каждый член последовательности, а также диапазон значений для индекса, по которому происходит перебор.

Виды последовательностей:
1. Арифметическая последовательность: каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа.
2. Геометрическая последовательность: каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число.
3. Рекуррентная (или рекурсивная) последовательность: каждый следующий член вычисляется на основе предыдущих членов по заданному правилу или формуле.

Формула для n-го члена последовательности: Это выражение, которое позволяет вычислить значение n-го члена последовательности, используя его порядковый номер n и, возможно, предыдущие члены последовательности. Формула может быть задана в явной или рекуррентной форме.

Связь между понятиями "функция" и "последовательность": Последовательность можно рассматривать как специальный тип функции, где областью определения функции являются натуральные числа, а областью значений - числа, принадлежащие последовательности. Таким образом, каждому натуральному числу n сопоставляется соответствующий член последовательности.

Рекуррентная формула: Это формула, которая позволяет вычислить n-й член последовательности на основе предыдущих членов по заданной закономерности. В отличие от явной формулы, где н-й член вычисляется независимо от предыдущих членов, рекуррентная формула использует полученные ранее значения для получения нового значения. Рекуррентные формулы удобны, когда закономерность в последовательности не выражается явно и требует использования промежуточных результатов.

Дополнительный материал:
1. Дана арифметическая последовательность с первым членом a₁ = 3 и разностью d = 2. Найдите 7-й член этой последовательности.
Обоснование:
По формуле для n-го члена арифметической последовательности: aₙ = a₁ + (n-1) * d,
подставляем значения: a₇ = 3 + (7-1) * 2 = 3 + 6 * 2 = 3 + 12 = 15.
Решение: 7-й член данной арифметической последовательности равен 15.

Совет: При работе с последовательностями старайтесь понять закономерности, по которым строится каждый следующий член, и постарайтесь представить каждую последовательность в виде формулы или правила, чтобы было проще решать задачи и находить требуемые значения.

Упражнение: Дана геометрическая последовательность с первым членом a₁ = 2 и знаменателем q = 3. Найдите 6-й член этой последовательности.