1. Приведите доказательство монотонного возрастания данной последовательности: b/n=7n/n+1. Отметьте соотношение, верное

Предмет вопроса: Доказательство монотонного возрастания последовательности

Разъяснение: Данная последовательность представлена выражением b/n = 7n/(n+1), где n - натуральное число. Чтобы доказать, что последовательность монотонно возрастает, необходимо проверить выполнение условия b1 < b2 < b3 < ... < bn < bn+1 < ...

Для этого проведем преобразования:
b/n = 7n/(n+1)
b = 7n^2 / (n+1)
b = 7 - 7/(n+1)

При увеличении значения n, b уменьшается. Для доказательства монотонного возрастания этой последовательности необходимо показать, что каждый элемент bn меньше следующего элемента bn+1.

Демонстрация:
1. b/n = 7n/(n+1)
Требуется доказать монотонное возрастание последовательности.
1. Для bn = 7/2, bn+1 = 7/3.
bn = 7/2 < bn+1 = 7/3.

Совет:
- Чтобы лучше понять эту задачу, рекомендуется разобраться в понятии монотонного возрастания последовательности и изучить примеры решения подобных задач.
- Вы можете провести вычисления с различными значениями n, чтобы убедиться в монотонном возрастании последовательности.

Задача для проверки:
Для данной последовательности b/n = 7n/(n+1), найдите значения bn и bn+1 при n = 5. Докажите, что bn < bn+1.

Последовательность возрастает
Пояснение:

Чтобы доказать монотонное возрастание данной последовательности, нам нужно проверить, выполняется ли условие bn < bn+1 для всех членов последовательности.

Доказательство:
Дано: bn = 7n / (n+1)

1. bn < bn+1:
Для этого преобразуем выражение bn+1 и сравним его с bn:

bn+1 = 7(n+1) / (n+1+1)
= 7(n+1) / (n+2)

Теперь сравним bn и bn+1:

bn = 7n / (n+1)

bn+1 = 7(n+1) / (n+2)

Для всех целых n > 0, bn < bn+1, так как числитель в bn+1 (7(n+1)) всегда больше числителя в bn (7n), а знаменатель в bn+1 (n+2) всегда больше знаменателя в bn (n+1).

Следовательно, последовательность возрастает.

Например:
Задача: Докажите монотонное возрастание последовательности b(n) = 7n / (n+1).
Совет:
При работе с такими задачами по математике полезно начать с предварительных преобразований и проверить свойства последовательностей. Использование численных примеров может помочь вам лучше понять доказательство и укрепить свои навыки.
Практика:
Проверьте, возрастает ли последовательность с помощью данного доказательства: b(n) = 5n / (n+3).