1. Предоставляется график функции. a) Изложите область определения функции. b) Определите множество значений функции

Суть вопроса: График функции

Инструкция:

1. a) Область определения функции - это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Для графика функции нужно определить, в каком интервале аргумент принимает значения. Область определения можно определить, исключив изначально недопустимые значения аргумента, такие как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа.

b) Множество значений функции - это множество всех возможных значений, которые функция может принимать. Для графика функции нужно определить, какие значения функция принимает на заданном интервале аргумента.

c) Интервалы, на которых функция сохраняет постоянный знак - это интервалы, где значения функции положительны или отрицательны. На графике это можно определить, найдя участки, где график находится выше или ниже оси абсцисс.

d) Наибольшее значение функции в области определения - это максимальное значение, которое функция может принимать. На графике это можно найти, исследуя точки экстремума (максимумы и минимумы).

e) Четность функции - это свойство функции относительно оси ординат. Функция является четной, если она симметрична относительно оси ординат, и нечетной, если она симметрична относительно начала координат. Для графика функции это можно определить, исследуя его симметричность и учитывая четность или нечетность коэффициентов функции.

2. a) Дробно-линейная функция задана уравнением: f(x) = (ax + b) / (x - 2). Для определения значений переменных a и b исследуем асимптоты функции, которые заданы уравнениями x = 3 и x = 1. Найдя значения переменных a и b, мы можем перейти к следующим шагам.

b) i) Переписываем функцию f(x) = (ax + b) / (x - 2) в виде f(x) = (4x - 12) / (x - 2), используя значения a = 4 и b = -12 из предыдущего шага.

ii) Определяем точки пересечения функции с осями координат, подставляя значения x = 0 и y = 0 в уравнение функции и решая уравнения. Найденные точки будут являться точками пересечения функции с осями координат.

iii) Построим график функции, используя полученные данные. Значения функции в точках пересечения с осями координат и информацию о прохождении графика через асимптоты.

Например:

1. Функция f(x) = 2x + 1. a) Область определения функции: все значения x. b) Множество значений функции: все значения, полученные при подстановке различных значений x. c) Интервалы, на которых функция сохраняет постоянный знак: функция положительна на интервале x > -0.5 и отрицательна на интервале x < -0.5. d) Наибольшее значение функции в области определения: не определено, так как функция является линейной. e) Функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Функция f(x) = (2x + 1) / (x - 2). a) Заданные асимптоты функции имеют уравнения x = 3 и x = 1. b) i) Переписываем функцию в виде f(x) = (2x + 1) / (x - 2) используя a = 2 и b = 1. ii) Подставляем x = 0 и решаем уравнение (2x + 1) / (x - 2) = 0. Получаем точку пересечения с осью ординат. iii) Строим график функции, учитывая точки пересечения с осями координат и информацию об асимптотах.

Совет: Для более легкого понимания графика функции, рекомендуется нарисовать координатную плоскость и отметить на ней все найденные значения и интервалы. Также полезно знать основные характеристики функций и уметь анализировать их графики.

Проверочное упражнение: Постройте график функции f(x) = (3x - 2) / (x + 1). Определите область определения функции, множество значений функции, интервалы, на которых функция сохраняет постоянный знак, наибольшее значение функции в области определения и четность функции.