1. Постройте график функции у = х2+8х+5 и найдите: а) корни функции; б) интервалы, где y < 0 и y > 0; в) интервалы

Тема: Параболы и графики функций

Инструкция: Для построения графика функции у = х^2+8х+5 сначала мы должны определить ее форму и характеристики. Функция представлена в виде параболы, так как степень х равна 2. Решим задачи поочередно.

а) Чтобы найти корни функции, мы должны найти значения х, при которых у = 0. Подставив у = 0 в уравнение, получаем х^2+8х+5 = 0. Используя квадратное уравнение, мы можем получить два значения х для которых функция равна 0: х = -1 и х = -5.

б) Чтобы найти интервалы, где у < 0 и у > 0, мы рассмотрим знак значения у для различных значений х. Можно заметить, что при х < -5 и х > -1 значения у < 0, а при х > -5 и х < -1 значения у > 0.

в) Чтобы найти интервалы, где функция возрастает или убывает, нужно рассмотреть знак производной функции. Производная функции у = х^2+8х+5 равна 2х+8. При значении х < -4, производная отрицательна, а при значении х > -4, производная положительна. Это означает, что функция убывает на интервале (-бесконечность, -4) и возрастает на интервале (-4, +бесконечность).

г) Чтобы найти наименьшее значение функции, нужно найти значение функции при определенном x. Так как у нас парабола с вершиной которая находится выше оси х, наименьшее значение функции будет равно у координате вершины параболы. Рассчет дает нам у = 1.

Пример использования: Постройте график функции y = x^2 + 8x + 5 и найдите все характеристики этой функции.

Совет: При решении задач, связанных с параболами и графиками функций, полезно использовать знание о форме и характеристиках парабол. Также стоит понимать, что корни функции соответствуют значениям х, при которых y равно нулю, а значение функции в вершине параболы является наибольшим или наименьшим значением функции.

Упражнение: Постройте график функции у = -х^2+6х+2 и найдите все характеристики этой функции.