1) Переведите в радианы и вычислите: а) sin 300°, б) tg (-2п/3), в) 2sin п/3 - cos п/2 2) Если cos a = -0,6, то найдите

Тема занятия: Тригонометрические функции

Объяснение:
1) Для перевода углов из градусов в радианы используется формула: радианы = (градусы * пи) / 180.
а) sin 300° = sin(300 * пи / 180) = sin(5п/3).
б) tg (-2п/3) = tg((-2п/3) * 180 / пи) = tg(-120°) = tg(-2п/3).
в) 2sin п/3 - cos п/2 = 2sin(п/3) - cos(п/2).

2) Если cos a = -0,6, то можем использовать тригонометрическую тождество Pythagorean для вычисления sin a и tg a.
cos² a + sin² a = 1.
(-0,6)² + sin² a = 1.
sin² a = 1 - 0,36.
sin² a = 0,64.
sin a = √0,64.
sin a = ±0,8.

tg a = sin a / cos a.
tg a = ±0,8 / -0,6.
tg a = ±1,3333.

3) Упростим выражения с помощью формул и тригонометрических свойств:
а) sin(п+a) + cos((3/2)п-a) = sin п*cos a + cos п*sin a + sin п*sin a - cos п*cos a.
Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
sin(п+a) + cos((3/2)п-a) = 2*sin п * sin a.

б) tg((п/2) + a) - ctg(2п - a) = (sin(п/2)sin a + cos(п/2)cos a) / (cos(п/2)sin a - sin(п/2)cos a).
Пользуясь формулами tg и ctg, упрощаем выражение:
tg((п/2) + a) - ctg(2п - a) = 1 / tg a - tg a = 0.

в) cos²a + 2sin²(п-а) = cos² a + 2sin² п*cos² a + 2sin п*cos п*sin a + 2sin² п*sin² a.
Пользуясь формулой cos² a + sin² a = 1 и тройным преобразованием синусов, упрощаем:
cos²a + 2sin²(п-а) = cos² a + 2(1 - cos² a) = 2.

г) sina / (1 + cosa) + sina / (1 - cosa) = (2sina) / (1 - cosa²).
Пользуясь тригонометрическим тождеством Pythagorean и умножением на сопряженное, упрощаем:
sina / (1 + cosa) + sina / (1 - cosa) = (2sina) / (1 - cosa²) = (2sina) / (sina²) = 2 / sina.

4) Для доказательства тождества воспользуемся тригонометрическими формулами:
Начнем с левой части:
cos²a(1 + tg²a) - sin²a = cos²a((sin²a / cos²a) + 1) - sin²a = sin²a + cos²a - sin²a = cos²a.

Получаем, что левая часть равна правой части, и тождество доказано.

5) Решим уравнения:
а) sin2X = 0.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: sinX = 0. Тогда X = 0 и X = п.
Случай 2: cosX = 0. Тогда X = п/2 и X = 3п/2.

б) cosX * cos2X - sinX * sin2X = 0.
Раскроем произведения и применим формулы двойного угла:
cosX * (2cos²X - 1) - sinX * 2sinX * cosX = 0.
Упростим выражение:
2cos³X - cosX - 2sin²X * cosX = 0.
Подставим тригонометрические тождества:
2(1 - sin²X)cosX - cosX - 2sin²X * cosX = 0.
Упростим:
2cosX - 2sin²X * cosX = 0.
Общий множитель cosX не может быть равен нулю, поэтому остается:
2 - 2sin²X = 0.
sin²X = 1.
sinX = ±1.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: sinX = 1. Тогда X = п/2 + 2пn, где n - целое число.
Случай 2: sinX = -1. Тогда X = 3п/2 + 2пn, где n - целое число.

Совет: При решении задач по тригонометрии полезно знать основные тригонометрические функции и их свойства, а также научиться применять формулы перевода градусов в радианы. Помните также о тригонометрических тождествах, они могут значительно упростить решение задач.

Дополнительное упражнение: Найдите значения sin 45°, cos (п/4), tg 60°.