1. Найдите значения функции f(x)=x^2/2 - 3x для x=2 и x=-3. Также найдите корни функции. 2. Определите область

1. Найдите значения функции f(x)=x^2/2 - 3x для x=2 и x=-3. Также найдите корни функции.

Решение:
Чтобы найти значения функции f(x) для заданных значений x, мы подставляем их вместо x в функцию и рассчитываем результат.

a) Для x=2:
f(2) = (2^2)/2 - 3*2 = 4/2 - 6 = 2 - 6 = -4

b) Для x=-3:
f(-3) = ((-3)^2)/2 - 3*(-3) = 9/2 + 9 = 4.5 + 9 = 13.5

Чтобы найти корни функции, мы должны найти значения x, при которых f(x) равно нулю. То есть мы ищем решения уравнения f(x) = 0.

a) Решим уравнение f(x) = 0 для функции f(x)=x^2/2 - 3x:
x^2/2 - 3x = 0
x*(x/2 - 3) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных решения:
x = 0 и x/2 - 3 = 0, что приводит к x = 6

2. Определите область определения функции f(x)=(x-5)/(x^2+x-6).

Решение:
Область определения функции - это множество значений x, при которых функция f(x) определена (не приводит к делению на ноль или другим математическим противоречиям).

Для функции f(x)=(x-5)/(x^2+x-6), функция будет определена, если знаменатель не равен нулю, то есть x^2+x-6 ≠ 0.

Мы можем решить это уравнение:
x^2+x-6 = 0

Факторизуя, мы получаем:
(x+3)(x-2) = 0

Таким образом, x не может быть равен -3 или 2, чтобы функция была определена. Область определения функции - все значения x, кроме -3 и 2.

3. Постройте график функции f(x)=x^2-2x-3 и найдите: а) область значений функции, б) интервал убывания функции, в) множество решений неравенства f(x) > 0.

Решение:
a) Чтобы найти область значений функции, мы ищем все возможные значения f(x). Для квадратичной функции f(x) = x^2-2x-3, область значений будет состоять из всех значений, которые f(x) может принимать.

Мы можем использовать понятие вершины параболы, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции. В данном случае, парабола открывается вверх, поэтому она имеет минимальное значение.

Зная, что вершина параболы (минимальное значение) находится на оси симметрии, мы можем найти значение x, используя формулу x = -b/(2a). В данном случае a=1, b=-2, поэтому x = -(-2)/(2*1) = 1.

Теперь мы можем подставить значение x=1 в функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x):
f(1) = 1^2 - 2*1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.

Таким образом, область значений функции f(x) = x^2-2x-3 будет все значения меньше или равные -4.

б) Для того чтобы найти интервал убывания функции, нам нужно найти интервалы значений x, при которых функция убывает (f(x) уменьшается). Мы знаем, что это происходит до и после вершины параболы.

Из предыдущего анализа мы знаем, что вершина параболы находится в точке x=1. Таким образом, функция убывает на интервале (-∞, 1).

в) Чтобы найти множество решений неравенства f(x) > 0, мы должны найти все значения x, при которых f(x) больше нуля.

Для этого, мы можем найти корни уравнения f(x) = 0 и использовать их, чтобы разбить число x на интервалы. Затем мы можем проверить значение f(x) на каждом интервале.

В данном случае, чтобы найти корни уравнения f(x) = x^2-2x-3 = 0, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта.

Дискриминант D = b^2-4ac = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4+12 = 16.
Так как D>0, уравнение имеет два различных действительных корня.

Используя формулу квадратного корня, мы можем найти корни:

x = (-b ± sqrt(D))/(2a) = (-(-2) ± sqrt(16))/(2*1) = (2 ± 4)/2 = 6/2 и -2/2 = 3 и -1.

Мы можем создать интервалы и проверить знак f(x) на каждом интервале:

Если x < -1, то f(x) > 0,
Если -1 < x < 3, то f(x) < 0,
Если x > 3, то f(x) > 0.

Таким образом, множество решений неравенства f(x) > 0 будет (-∞, -1) объединение (3, +∞).