1. Найдите значения функции f (х) = х2/5 – 6х при х = 5 и х = –1. Найдите нули функции. 2. Определите область

1. Значения функции и нули функции:

Для заданной функции f(x) = x^2/5 – 6x, необходимо найти ее значения при x = 5 и x = -1, а также нули функции.

- При x = 5:
Подставим x = 5 в функцию:
f(5) = (5^2)/5 - 6(5) = 25/5 - 30 = 5 - 30 = -25

Значение функции при x = 5 равно -25.

- При x = -1:
Подставим x = -1 в функцию:
f(-1) = (-1^2)/5 - 6(-1) = 1/5 + 6 = 1/5 + 30/5 = 31/5

Значение функции при x = -1 равно 31/5.

- Нули функции:
Чтобы найти нули функции, решим уравнение f(x) = 0:
x^2/5 - 6x = 0

x(x/5 - 6) = 0

Таким образом, нули функции - это x = 0 и x/5 - 6 = 0. Решая второе уравнение, получим x = 30.

Нули функции f(x) = x^2/5 – 6x равны x = 0 и x = 30.

2. Область определения функции:

Для функции f(x) = (x + 6)/(x^2 – 3x – 4), необходимо определить ее область определения, то есть значения x, для которых функция существует.

Прежде всего, обратим внимание на знаменатель, x^2 - 3x - 4. Чтобы избежать деления на ноль, необходимо, чтобы этот знаменатель был отличен от нуля.

Решим уравнение x^2 - 3x - 4 = 0, чтобы найти значения x, когда знаменатель равен нулю.

(x - 4)(x + 1) = 0

Отсюда, получаем два значения, x = 4 и x = -1.

Значит, функция f(x) существует для любого x, кроме x = 4 и x = -1.

Область определения функции f(x) = (x + 6)/(x^2 – 3x – 4) - все значения x, кроме x = 4 и x = -1.

3. Построение графика функции и определение значений:

Для функции f(x) = x^2 – 8x + 7, необходимо:

1) Определить область значений функции - это множество y-значений, которые функция может принимать.
2) Найти интервалы возрастания функции.
3) Решить неравенство f(x) > 0, чтобы найти значения x, при которых функция положительна.

- Область значений функции:
Обратимся к старшему коэффициенту x^2, который равен 1. Так как это положительное число, график функции открывается вверх, а значит, у функции нет ограничений на значения y. Функция может принимать любые рациональные и иррациональные значения.

- Интервалы возрастания функции:
Для определения интервалов возрастания, найдем точки экстремумов функции. Точку экстремума находится при x = -b/2a, где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно.

x = -(-8)/2(1) = 4

Значит, у функции есть экстремум в точке x = 4. Чтобы определить интервалы возрастания, посмотрим на знак производной функции на разных интервалах.

Производная функции:
f"(x) = 2x - 8

На интервале (-∞, 4) производная f"(x) < 0, значит функция убывает.
На интервале (4, +∞) производная f"(x) > 0, значит функция возрастает.

Значит, функция f(x) возрастает на интервале (4, +∞).

- Решение неравенства f(x) > 0:
f(x) = x^2 – 8x + 7 > 0

Для решения неравенства, определим знаки функции на разных интервалах.

f(x) < 0 на интервалах (-∞, 3) и (5, +∞)
f(x) > 0 на интервале (3, 5)

Значит, решения неравенства f(x) > 0 - это интервал (3, 5).

4. Построение графиков функций:

Мы должны построить графики следующих функций:
1) f(x) = √x + 2
2) f(x) = √(x + 2)

1) График функции f(x) = √x + 2:
- Для построения графика, выберем несколько значений x и найдем соответствующие им значения y.
- Выберем x = -1, 0, 1, 4 как значения.
- Подставим эти значения в функцию и найдем соответствующие значения y.
При x = -1: f(-1) = √(-1) + 2 = 1
При x = 0: f(0) = √0 + 2 = 2
При x = 1: f(1) = √1 + 2 = 3
При x = 4: f(4) = √4 + 2 = 4

Таким образом, мы получили несколько точек: (-1, 1), (0, 2), (1, 3), (4, 4). Проведем через эти точки гладкую кривую. График будет подниматься вверх и вправо, возрастая без ограничений.

2) График функции f(x) = √(x + 2):
- Для построения графика, выберем несколько значений x и найдем соответствующие им значения y.
- Выберем x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 4 как значения.
- Подставим эти значения в функцию и найдем соответствующие значения y.
При x = -3: f(-3) = √(-3 + 2) = 0
При x = -2: f(-2) = √(-2 + 2) = 0
При x = -1: f(-1) = √(-1 + 2) = 1
При x = 0: f(0) = √(0 + 2) = √2
При x = 1: f(1) = √(1 + 2) = √3
При x = 2: f(2) = √(2 + 2) = 2
При x = 4: f(4) = √(4 + 2) = 2√3

Таким образом, мы получили несколько точек: (-3, 0), (-2, 0), (-1, 1), (0, √2), (1, √3), (2, 2), (4, 2√3). Проведем через эти точки гладкую кривую. График также будет подниматься вверх и направо, но более пологий, из-за извлечения квадратного корня.

5. Область определения функции:

Для функции f(x) = √(x + 3) + 8/(x^2 – 36), необходимо определить ее область определения, то есть значения x, для которых функция существует.

Обратим внимание на два аспекта:

- Корень √(x + 3): Чтобы корень был определен, x + 3 должно быть больше или равно нулю. То есть, x ≥ -3.

- Знаменатель x^2 - 36: Знаменатель не должен быть равен нулю, так как деление на ноль невозможно.
Решим уравнение x^2 - 36 = 0.

(x - 6)(x + 6) = 0

Получаем два значения, x = 6 и x = -6.

Таким образом, функция f(x) существует при x ≥ -3 и x ≠ 6, -6.

Область определения функции f(x) = √(x + 3) + 8/(x^2 – 36) - все значения x, большие или равные -3 и не равные 6, -6.

6. Нахождение значения b и c:

Для параболы y = -4x^2 + bx, точка A будет вершиной параболы, если ее x-координата будет -b/2a.

В данном случае, у нас дано уравнение параболы y = -4x^2 + bx.

Сравним данное уравнение с общим видом уравнения параболы y = ax^2 + bx + c.

Мы видим, что коэффициент при x^2 равен -4. Согласно общему виду уравнения параболы, a = -4.

Таким образом, точка A будет вершиной параболы, если ее x-координата будет -b/2a.

Для точки A является вершиной параболы, точка A должна быть находиться посередине между корнями. Рассмотрим перевернутое знак у квадратного коэффициента a, чтобы найти его координаты.

Координаты вершины: (-b/2a, -4b^2/4a)

Таким образом, чтобы точка A была вершиной параболы, b = 0.

Значит, при b = 0 и любом значении c, точка A будет вершиной параболы у = -4x^2 + bx.

Решение 1:
Рассмотрим функцию f(x) = x^(2/5) - 6x.
1) Для нахождения значения функции при x = 5, подставим значение вместо x:
f(5) = 5^(2/5) - 6(5) = (5^(1/5))^2 - 30 = 5^2 - 30 = 25 - 30 = -5.
2) Для нахождения значения функции при x = -1:
f(-1) = (-1)^(2/5) - 6(-1) = (1/(-1)^(1/5))^2 + 6 = 1 - 6 = -5.
3) Чтобы найти нули функции, мы должны найти значения x, при которых f(x) = 0.
Уравнение f(x) = x^(2/5) - 6x = 0 можно решить, приведя его к виду x^(2/5) = 6x и возведя обе части в пятую степень, чтобы избавиться от корня.
Получаем x^2 = 7776x^5. Это уравнение кубического типа.
Решить его аналитически сложно, но можно использовать графический метод или численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления.

Решение 2:
Определим область определения функции f(x) = (x + 6)/(x^2 - 3x - 4).
Область определения - это множество значений x, для которых функция определена.

Функция f(x) определена при любых значениях x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
Поэтому решим уравнение:
x^2 - 3x - 4 = 0.
Решим его с помощью факторизации:
(x - 4)(x + 1) = 0.
Получаем два корня: x = 4 и x = -1.

Значит, область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел, кроме 4 и -1.
Обозначается это так: D = (-∞; -1)∪(-1; 4)∪(4; +∞).

Решение 3:
Построим график функции f(x) = x^2 - 8x + 7:
Для этого выпишем таблицу значений и построим график по точкам:

x | f(x)
---------
0 | 7
1 | 0
2 |-1
3 |-2
4 |-1
5 | 0
6 | 1
7 | 2
8 | 7

Значения функции f(x) - это значения на оси ординат, а значения x - на оси абсцисс.

1) Область значений функции - это интервалы значений на оси ординат. В данном случае, область значений функции - это все действительные числа, начиная с -∞ и заканчивая +∞.

2) Интервал возрастания функции. Функция возрастает на интервалах, где значения функции на оси ординат увеличиваются по мере увеличения значений x. В данном случае, интервал возрастания функции - это интервал (1, 7).

3) Решим неравенство f(x) > 0:
x^2 - 8x + 7 > 0.
Для решения неравенства, найдем корни уравнения x^2 - 8x + 7 = 0.
Используем квадратное уравнение и найдем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 64 - 4*1*7 = 64 - 28 = 36.
Дискриминант положительный, поэтому у нас будет два корня: x = (8 + √36)/2 и x = (8 - √36)/2.
x = (8 + 6)/2 = 7 и x = (8 - 6)/2 = 1.
Решением неравенства будет интервал (1, 7).

Решение 4:
1) Построим график функции f(x) = √(x + 2):
Для этого можем построить таблицу значений и по точкам построить график:

x | f(x)
---------
-2 | 0
-1 | 1
0 | 2
1 | √3
2 | 2
3 | √5
4 | √6

2) Построим график функции f(x) = √(x + 2):
Для этого можем построить таблицу значений и по точкам построить график:

x | f(x)
-------
-2 | √2
-1 | √1 = 1
0 | √2
1 | √3
2 | √4 = 2
3 | √5
4 | √6

Решение 5:
Определим область определения функции f(x) = √(x + 3) + 8/(x^2 - 36).

Функция f(x) определена при любых значениях x, кроме тех, при которых знаменатели равны нулю, так как деление на ноль невозможно.

Знаменатель второго слагаемого равен x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6).
Значит, область определения функции - это множество всех действительных чисел, кроме x = -6 и x = 6.
Обозначается это так: D = (-∞; -6)∪(-6; 6)∪(6; +∞).

Решение 6:
Чтобы найти значения b и c, при которых точка A является вершиной параболы у = -4x^2 + bx + c, нам нужно использовать формулы для вершины параболы.

Известно, что вершина параболы имеет координаты (h, k), где h - это координата x вершины, а k - это координата y вершины.

Для параболы у = -4x^2 + bx + c, координаты вершины можно найти с помощью формул:

h = -b / (2a)
k = c - (b^2 - 4ac) / (4a)

У нас дано уравнение у = -4x^2 + bx, поэтому a = -4.

То есть, если точка A является вершиной параболы, то ее координаты (x, y) удовлетворяют системе уравнений:
x = -b / (2*(-4)) = -b / -8 = b / 8
y = c - (b^2 - 4*(-4)c) / (4*(-4)) = c + (b^2 + 16c) / 16

Значит, точка A является вершиной параболы, если координаты вершины (h, k) равны (b / 8, c + (b^2 + 16c) / 16).