1. Найдите пятый член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен -3. 2. Найдите седьмой

Геометрическая прогрессия:
Пояснение: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии. Рассмотрим поочередно каждую задачу.

1. Задача: Находим пятый член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен -3.

Решение: Формула для нахождения n-ного члена геометрической прогрессии: a_n = a_1 * r^(n-1), где a_n - n-ный член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Подставляем в формулу значения: a_1 = 2, r = -3, n = 5.

a_5 = 2 * (-3)^(5-1)

a_5 = 2 * (-3)^4

a_5 = 2 * 81

a_5 = 162

Ответ: Пятый член геометрической прогрессии равен 162.

2. Задача: Найти седьмой член геометрической прогрессии, если шестой член равен 4, а четвертый член равен 9.

Решение: Рассмотрим разность между шестым и четвертым членами прогрессии. Возьмем квадрат этой разности и уделим на 4, чтобы получить квадрат знаменателя. Затем домножаем пятый член на знак квадратного корня из знаменателя, чтобы получить шестой член.

Четвертый член: a_4 = 9
Шестой член: a_6 = 4

Разность между шестым и четвертым членами: d = a_6 - a_4 = 4 - 9 = -5

Квадрат разности: d^2 = (-5)^2 = 25

Знаменатель прогрессии: r = sqrt(d^2 / 4) = sqrt(25 / 4) = sqrt(6.25) = 2.5

Седьмой член: a_7 = a_6 * r = 4 * 2.5 = 10

Ответ: Седьмой член геометрической прогрессии равен 10.

3. Задача: Найдите знаменатель геометрической прогрессии, для которой отношение суммы пятого и шестого членов к сумме третьего и четвертого членов равно 4.

Решение: Здесь мы используем формулу для суммы n членов геометрической прогрессии: S_n = a_1 * (1 - r^n) / (1 - r), где S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Отношение сумм: (a_5 + a_6) / (a_3 + a_4) = 4

Подставляем значения a_5 = a_1 * r^4, a_6 = a_1 * r^5, a_3 = a_1 * r^2, a_4 = a_1 * r^3.

(a_1 * r^4 + a_1 * r^5) / (a_1 * r^2 + a_1 * r^3) = 4

(r^4 + r^5) / (r^2 + r^3) = 4

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

r^4 + r^5 = 4*(r^2 + r^3)

r^4 + r^5 = 4r^2 + 4r^3

r^5 - 4r^3 - 4r^2 = 0

r^2 * (r^3 - 4r - 4) = 0

Решаем получившееся уравнение вычислительным или графическим методом. Найденное значение r будет знаменателем прогрессии.

Ответ: Знаменатель геометрической прогрессии будет равен найденному значению r.

4. Задача: Find the sum of the first seven terms of a geometric progression, where the first term is 27 and the common ratio is