1. Какова область определения функции y=f(x-5), если известно, что d(f) = [-1; 6]? 2. Найдите новую область значений

Тема: Область определения и область значений функций.

Объяснение: Область определения функции - это множество значений аргументов, для которых функция определена и имеет смысл. Она определяет, какие значения x можно подставлять в функцию.

1. Для функции y = f(x-5) известно, что область определения d(f) = [-1; 6]. Чтобы найти область определения данной функции, нужно рассмотреть область определения внутренней функции (x-5) и сдвигающую константу (-5). Область определения внутренней функции определяется всеми возможными значениями x в исходной области определения [-1; 6]. С учетом сдвига на 5 единиц влево, новая область определения будет равна [4; 11].

2. а) Для функции y = 5-x^(7)/x область значений можно найти, рассматривая ограничения на знаменатель (x ≠ 0) и числитель. В числителе имеется отрицательная степень x, поэтому знак числителя будет зависеть от четности степени и значения x. Следовательно, область значений будет включать все действительные числа, кроме нуля.

б) Для функции y = (x-1)/x² область значений также будет содержать все действительные числа, за исключением нуля. Это связано с тем, что в знаменателе x² никогда не может равняться нулю. Числитель (x-1) также может принимать любое значение, поэтому область значений будет распространяться от минус бесконечности до плюс бесконечности, не включая ноль.

3. а) Для функции g(2x) мы хотим составить формулу вида g(2x) = ax² + bx + c. Заменяя x на 2x в исходной функции g(x) = x² - 3, получаем g(2x) = (2x)² - 3 = 4x² - 3.

б) Для функции f(g(x)), заменяя x на g(x) в функции f(x) = 3x + 1, мы получаем f(g(x)) = 3(g(x)) + 1 = 3(x² - 3) + 1 = 3x² - 8.

Совет: Для лучшего понимания области определения и области значений функций, рекомендуется углубиться в изучение материала по функциям и их свойствам, включая ограничения значений переменных и соответствующие преобразования.

Упражнение: Найдите область определения и область значений функции y = √(4 - x²).