1. Какие координаты являются вершиной параболы в следующих функциях? а) y = x^2 - x - 20 б) y = -x^2 + 4x

Тема: Параболы и графики квадратичных функций

Разъяснение:
1. Для нахождения вершины параболы вида y = ax^2 + bx + c, координаты вершины можно выразить следующим образом:
x = -b / (2a), y = c - (b^2 - 4ac) / (4a).

a) В функции y = x^2 - x - 20, коэффициенты a, b и c равны соответственно a = 1, b = -1 и c = -20. Подставляя значения, получим:
x = -(-1) / (2*1) = 1/2, y = -20 - (-1^2 - 4*1*(-20)) / (4*1) = -20 - 81 / 4 = -20 - 20.25 = -40.25. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1/2, -40.25).

б) В функции y = -x^2 + 4x, коэффициенты a, b и c равны соответственно a = -1, b = 4 и c = 0. Подставляя значения, получим:
x = -4 / (2*(-1)) = 2, y = 0 - (4^2 - 4*(-1)*0) / (4*(-1)) = 0 + 16 / (-4) = 0 - 4 = -4. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, -4).

2. График квадратичной функции имеет форму параболы. Для определения его формы и положения можно использовать коэффициенты a, b и c в уравнении функции.

а) В уравнении y = x^2 + 2x - 15, коээфициенты a, b и c равны соответственно a = 1, b = 2 и c = -15. Поскольку a > 0, парабола будет направлена вверх. Для нахождения вершины исользуем формулы из предыдущего объяснения:
x = -2 / (2*1) = -1, y = -15 - (2^2 - 4*1*(-15)) / (4*1) = -15 - 64 / 4 = -15 - 16 = -31. Таким образом, график квадратичной функции будет приоткрыт вверх и вершина параболы имеет координаты (-1, -31).

б) В уравнении y = -2x^2 + 8x - 6, коэффициенты a, b и c равны соответственно a = -2, b = 8 и c = -6. Поскольку a < 0, парабола будет направлена вниз. Подставляя значения, получим:
x = -8 / (2*(-2)) = 2, y = -6 - (8^2 - 4*(-2)*(-6)) / (4*(-2)) = -6 + (64 - 48) / (-8) = -6 + 16 / (-8) = -6 + 2 = -4. Таким образом, график квадратичной функции будет приоткрыт вниз и вершина параболы имеет координаты (2, -4).

Пример использования:
1. Найдите вершину параболы в функции y = 2x^2 - 6x + 1.
2. Как выглядит график функции y = -3x^2 + 12x?

Совет:
Чтобы лучше понять форму и положение графиков парабол, рекомендуется использовать дополнительные инструменты, такие как графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков. Это поможет визуализировать функции и лучше понять их свойства.

Упражнение:
Найдите вершину параболы в функции y = -5x^2 + 10x - 3 и определите, какой будет форма графика.