1) Если дважды бросить монету и в первый раз выпадет решка, то какова условная вероятность, что второй раз выпадет

1) Условная вероятность выпадения решки во второй раз при условии, что в первый раз выпала решка:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности.
Пусть A - событие "в первый раз выпала решка", B - событие "во второй раз выпала решка".
Тогда условная вероятность P(B|A), то есть вероятность события B при условии A, вычисляется по формуле:
P(B|A) = P(A∩B) / P(A),
где P(A∩B) - вероятность одновременного наступления событий A и B, а P(A) - вероятность наступления события A.
В нашем случае P(A∩B) - вероятность того, что в первый и второй разы выпадет решка, то есть 1/4, так как есть два исхода - "орёл" и "решка", и только один из них подходит для обоих бросков.
P(A) - вероятность выпадения решки в первый раз, равна 1/2.
Тогда условная вероятность равна:
P(B|A) = (1/4) / (1/2) = 1/2.

2) Вероятность выпадения решки в обоих случаях при условии, что в первый раз выпала решка:
Обозначим теперь событие C - "в обоих случаях выпадет решка".
Тогда нам нужно найти условную вероятность P(C|A), то есть вероятность события C при условии A.
Аналогично предыдущему пункту, условная вероятность можно вычислить по формуле:
P(C|A) = P(A∩C) / P(A),
где P(A∩C) - вероятность одновременного наступления событий A и C, а P(A) - вероятность наступления события A.
В нашем случае P(A∩C) - вероятность того, что в первый и второй разы выпадет решка, то есть 1/4.
P(A) - вероятность выпадения решки в первый раз, равна 1/2.
Тогда условная вероятность равна:
P(C|A) = (1/4) / (1/2) = 1/2.

3) Вероятность выпадения орла хотя бы один раз при условии, что в первый раз выпала решка:
Обозначим теперь событие D - "хотя бы один раз выпадет орёл".
Нам нужно найти условную вероятность P(D|A), то есть вероятность события D при условии A.
В данном случае, чтобы наступило событие D, нужно, чтобы в первый раз выпал орёл и/или во второй раз выпал орёл.
P(D|A) = 1 - P(AC∩BC) / P(A),
где P(AC∩BC) - вероятность одновременного наступления событий AC (в первый раз выпадет орёл) и BC (во второй раз выпадет орёл), а P(A) - вероятность наступления события A.
В нашем случае P(AC∩BC) равна 0, так как если в первый раз выпала решка, то невозможно, чтобы во второй раз выпал орёл.
P(A) - вероятность выпадения решки в первый раз, равна 1/2.
Тогда условная вероятность равна:
P(D|A) = 1 - 0 / (1/2) = 1.

4) Вероятность того, что оба раза выпадет орёл, если в первый раз выпала решка:
Обозначим теперь событие E - "оба раза выпадет орёл".
Нам нужно найти условную вероятность P(E|A), то есть вероятность события E при условии A.
В данном случае, чтобы наступило событие E, нужно, чтобы и в первый раз, и во второй раз выпал орёл.
P(E|A) = P(AE) / P(A),
где P(AE) - вероятность одновременного наступления событий A (в первый раз выпала решка) и E (оба раза выпадет орёл), а P(A) - вероятность наступления события A.
P(AE) равна 0, так как если в первый раз выпала решка, то невозможно, чтобы оба раза выпал орёл.
P(A) - вероятность выпадения решки в первый раз, равна 1/2.
Тогда условная вероятность равна:
P(E|A) = 0 / (1/2) = 0.

Задача на проверку: Если дважды бросить монету, каково суммарное количество возможных исходов, и какова вероятность выпадения решки хотя бы один раз?