1. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны, если из точки O в указанном порядке выходят лучи

1. Биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны:
Пусть угол AOC = α и угол BOD = β.
Также обозначим угол AOB = γ и угол COD = δ.
Так как сумма углов AOB и COD равна 180°, то γ + δ = 180°.
Доказательство будет включать доказательство, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны, если углы AOB и COD равны между собой.

Для этого рассмотрим треугольник AOB.
Угол AOB = 180° - (α + β), так как угол AOB равен сумме углов AOC и BOD.
Пусть биссектриса угла AOC пересекает сторону AO в точке T, а биссектриса угла BOD пересекает сторону OB в точке S.
Мы знаем, что угол TOC = α/2 и угол SOB = β/2.

Теперь рассмотрим треугольник TOC.
Угол OTC = (180° - γ) - α/2, так как угол OTC равен общему углу COD минус углу TOC.
Аналогично, рассмотрим треугольник SOB.
Угол OSB = (180° - γ) - β/2.
Теперь, чтобы доказать, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны, нам нужно показать, что угол OTC + угол OSB = 90°.

Угол OTC + угол OSB = [(180° - γ) - α/2] + [(180° - γ) - β/2]
= (360° - 2γ - α - β)/2 = [360° - 2(γ +δ)]/2
= (360° - 360°)/2 = 0/2 = 0°.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Например:
Угол AOB = 120°, угол COD = 60°. Докажите, что биссектрисы углов AOC и BOD перпендикулярны.

Совет:
При решении данной задачи помните, что биссектриса угла делит этот угол на два равных угла. Также вспомните свойства углов при пересечении прямых. Обращайте внимание на указанные условия и используйте их в своих рассуждениях.

Дополнительное упражнение:
В треугольнике ABC угол BAC = 30°, биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке D. Докажите, что угол ADB = 60°.