Знайти миттєву швидкість v(t) та рух точки s(t), якщо точка рухається прямолінійно з прискоренням a(t) = 12t^2 + 4

Тема: Математика - Производные и интегралы

Объяснение:
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться производной и интегралом. Поскольку задано уравнение для ускорения a(t), нам нужно найти мгновенную скорость v(t) и положение s(t) точки в момент времени t.

1. Найдем мгновенную скорость v(t):
Известно, что:
v'(t) = a(t) (по определению производной ускорения)

Интегрируем обе части уравнения:
∫v'(t) dt = ∫a(t) dt

Получаем:
v(t) = ∫(12t^2 + 4) dt

2. Вычислим значение мгновенной скорости v(t) в момент времени t = 1с:
Подставим t = 1 в уравнение v(t):
v(1) = ∫(12(1)^2 + 4) dt
= ∫(12 + 4) dt
= ∫16 dt
= 16t + C (C - постоянная интегрирования)

Известно, что v(1) = 10 м/с. Подставим это значение:
10 = 16(1) + C
C = 10 - 16
C = -6

Значение постоянной интегрирования C равно -6.
Таким образом, уравнение для мгновенной скорости v(t) будет:
v(t) = 16t - 6

3. Вычислим положение точки s(t):
Для этого необходимо найти интеграл от уравнения для мгновенной скорости v(t):
∫v(t) dt = ∫(16t - 6) dt

Получаем:
s(t) = ∫(16t - 6) dt

Вычислим интеграл:
s(t) = 8t^2 - 6t + C (C - постоянная интегрирования)

Известно, что s(1) = 12 м. Подставим это значение:
12 = 8(1)^2 - 6(1) + C
12 = 8 - 6 + C
C = 12 - 8 + 6
C = 10

Значение постоянной интегрирования C равно 10.
Таким образом, уравнение для положения точки s(t) будет:
s(t) = 8t^2 - 6t + 10

Пример использования:
Значение мгновенной скорости в момент времени t = 3с:
v(3) = 16(3) - 6 = 48 м/с

Значение положения точки в момент времени t = 3с:
s(3) = 8(3)^2 - 6(3) + 10 = 56 м

Совет:
Для лучшего понимания темы производных и интегралов рекомендуется изучать и проводить больше практических примеров, а также рассмотреть графики функций и их производных.

Упражнение:
Найдите мгновенную скорость v(t) и положение точки s(t), если дано ускорение a(t) = 6t + 4, и в момент времени t = 2с, скорость точки равна 15 м/с, а ее положение s(2) = 18 м. Вычислите значения v(4) и s(4).