Знайдіть функцію F(x), яка є похідною функції f(x) = 1/2cosx/2 -5sin5x і проходить через точку

Название: Нахождение функции F(x), являющейся производной функции f(x) = 1/2cos(х/2) - 5sin(5х) и проходящей через точку

Пояснение: Чтобы найти функцию F(x), которая является производной функции f(x) и проходит через заданную точку, мы можем использовать метод интегрирования.

1. Сначала найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производную каждого элемента функции по отдельности:
f"(x) = (1/2)*(-sin(x/2)/2) - 5*(cos(5x))*5 = -sin(x/2)/4 - 25cos(5x)

2. Зная производную функции f"(x), мы знаем, что функция f(x) является производной функции F(x). Это означает, что f(x) = dF(x)/dx.
Интегрируем выражение f(x), чтобы найти функцию F(x):
F(x) = ∫[-sin(x/2)/4 - 25cos(5x)]dx

3. Интегрируем каждый элемент выражения по отдельности:
F(x) = ∫-sin(x/2)/4 dx - ∫25cos(5x) dx

4. Интегрируем каждый интеграл по правилам интегрирования, получая:
F(x) = (1/4)*∫sin(x/2) dx - (1/25)*∫cos(5x) dx

5. Решаем каждый интеграл:
F(x) = (-1/4)cos(x/2) + (1/25)*sin(5x)/5 + C

6. C - это постоянная интегрирования. Мы не знаем ее значение, но у нас есть информация, что функция F(x) проходит через заданную точку. Подставим значение x из заданной точки в функцию F(x) и найдем значение C:
F(x_0) = (-1/4)cos(x_0/2) + (1/25)*sin(5x_0)/5 + C

Теперь мы знаем значение C и можем записать окончательный ответ:
F(x) = (-1/4)cos(x/2) + (1/25)*sin(5x)/5 + C

Доп. материал: Найдите функцию F(x), являющуюся производной функции f(x) = 1/2cos(х/2) - 5sin(5х) и проходящую через точку (0, 2).

Совет: При решении задач по нахождению функций, обратите внимание на условия, в которых функция F(x) проходит через точку. Это позволяет найти постоянную интегрирования C.

Упражнение: Найдите функцию F(x), являющуюся производной функции f(x) = 3x^2 + 4x - 5 и проходящей через точку (1, 0).