What is the sum of the first eight terms of an arithmetic progression that is equal to the sum of the first eleven

Арифметическая прогрессия:

Разъяснение: Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же фиксированного числа к предыдущему члену. Это фиксированное число называется разностью прогрессии.

Для решения данной задачи, нам известно, что сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна сумме первых одиннадцати членов. Мы можем использовать данную информацию для нахождения разности прогрессии.

Сначала найдем значение разности прогрессии. Разность прогрессии - это разница между любыми двумя последовательными членами. Мы можем найти разность, разделив разницу суммы первых одиннадцати членов на количество пар разностей, которые составляют суммы первых восьми членов.

После того, как мы найдем разность прогрессии, мы можем использовать ее для нахождения суммы первых девятнадцати членов арифметической прогрессии. Мы знаем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:
Sn = (n/2)(2a + (n-1)d),
где Sn - сумма n членов, a - первый член, d - разность прогрессии.

Например: Пусть первый член арифметической прогрессии равен 3, а сумма первых одиннадцати членов равна 99. Найдем разность прогрессии и сумму первых девятнадцати членов.

Совет: Чтобы более легко понять арифметическую прогрессию и ее формулы, можно представить себе последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается путем прибавления числа к предыдущему, например, последовательность 2, 5, 8, 11, ...

Задание для закрепления: Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, если первый член равен 7, а разность равна 3.

Арифметическая прогрессия:
Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между каждыми двумя последовательными членами одинакова. Эта разность называется шагом прогрессии и обозначается буквой d.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:
Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть вычислена по формуле: Sn = (n/2)(a1 + an), где Sn - сумма, n - количество членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - последний член прогрессии.

Решение задачи:
Для данного вопроса у нас есть два неизвестных: сумма первых восьми членов прогрессии и сумма первых одиннадцати членов прогрессии. Пусть первый член прогрессии равен a, а шаг прогрессии - d. Тогда у нас есть два уравнения:
8a + 28d = 11a + 55d (так как сумма первых восьми членов прогрессии равна сумме первых одиннадцати членов прогрессии)
8a - 11a = 55d - 28d
-3a = 27d
a = -9d
Теперь мы можем использовать найденные значения a и d, чтобы найти сумму первых девятнадцати членов прогрессии.
Sn = (19/2)(a1 + an)
Sn = (19/2)(-9d + a + (19-1)d)
Sn = (19/2)(-9d + (-9d) + 18d)
Sn = (19/2)(9d)
Sn = 19*9/2*d
Sn = 171d
Таким образом, сумма первых девятнадцати членов прогрессии равна 171d.

Закрепляющее упражнение:
Найдите сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а шаг прогрессии равен 2.