What is the result of solving the equation √3 cos(x) + 2 cos(x - 5π/6) = cos(2x) - 11π/2?

Предмет вопроса: Решение уравнения с тригонометрическими функциями

Инструкция: Для того чтобы решить это уравнение, мы должны привести его к виду, в котором одна сторона равна нулю. Затем мы можем использовать алгебраические методы для нахождения решения.

1. Раскроем правую часть уравнения cos(2x) - 11π/2:

cos(2x) - 11π/2 = cos^2(x) - sin^2(x) - 11π/2

2. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

√3 cos(x) + 2 cos(x - 5π/6) = (√3 * cos(x) + 2 * cos(x - 5π/6)) / 1

3. Применим формулы сложения и вычитания для косинуса:

√3 cos(x) + 2 cos(x - 5π/6) = √3 cos(x) + 2 [cos(x) cos(5π/6) + sin(x) sin(5π/6)]
= √3 cos(x) + 2 [cos(x) * (√3/2) - sin(x) * (1/2)]
= (3√3/2) cos(x) - √3 sin(x)

4. Теперь уравнение примет вид:

(3√3/2) cos(x) - √3 sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x) - 11π/2

5. Приведем все косинусы и синусы к одной стороне уравнения:

(3√3/2) cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) + √3 sin(x) - 11π/2 = 0

6. Объединим соседние члены:

-(cos^2(x) - (3√3/2) cos(x)) + (sin^2(x) - √3 sin(x)) - 11π/2 = 0

7. Заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

-(1 - sin^2(x) - (3√3/2) cos(x)) + (sin^2(x) - √3 sin(x)) - 11π/2 = 0

8. Раскроем скобки и упростим уравнение:

-1 + sin^2(x) + (3√3/2) cos(x) + sin^2(x) - √3 sin(x) - 11π/2 = 0

2sin^2(x) + (3√3/2) cos(x) - √3 sin(x) - 1 - 11π/2 = 0

2sin^2(x) + (3√3/2) cos(x) - √3 sin(x) - 2 - 11π/2 = 0

9. Подставим sin(x)=a и cos(x)=b:

2a^2 + (3√3/2) b - √3 a - 2 - 11π/2 = 0

Это нелинейное уравнение относительно переменных a и b.

Демонстрация: Теперь, когда у вас есть преобразованное уравнение, вы можете использовать различные методы для его решения, такие как графический метод, метод подстановки или численные методы.

Совет: Если вы выбираете численный метод для решения этого уравнения, вы можете использовать метод Ньютона или метод бисекции для нахождения приближенного решения.

Упражнение: Решите уравнение с помощью численного метода и найдите значение переменных a и b.