What is the maximum value of the function y=3cosx +cos3x/5 on the interval (-p/2;p/2)?

Тема урока: Максимальное значение функции на заданном интервале

Объяснение: Для нахождения максимального значения функции на заданном интервале (-π/2; π/2), мы должны проанализировать ее график и найти точку максимума. В данном примере функция задана уравнением y = 3cos(x) + cos(3x)/5.

Первым шагом является нахождение производной функции по x, чтобы найти ее критические точки (точки экстремума). Возьмем производную функции y как сумму производных двух слагаемых: y" = (3*(-sin(x))) + ((-3*sin(3x))/5).

Затем приравняем производную к нулю и решим это уравнение, чтобы найти критические точки функции. Получившиеся значения x будут являться потенциальными точками максимума.

Исследуем решения уравнения. Решение представлено уравнением, состоящим из двух слагаемых. Первое слагаемое, 3*(-sin(x)), равно нулю при x = 0, так как sin(0) = 0.

Для второго слагаемого, (-3*sin(3x))/5, получим две критические точки при x = 0 и x = π/6.

После нахождения критических точек, необходимо вычислить значения функции в этих точках, а также на границах заданного интервала (-π/2; π/2).

При подстановке этих значений в исходную функцию, мы получим следующие значения y:
y(0) = 3cos(0) + cos(0)/5 = 3 + 1/5 = 16/5
y(π/6) = 3cos(π/6) + cos(π/2)/5 = 3*(√3/2) + 0/5 = (3√3)/2

Сравнивая значения, мы видим, что максимальное значение функции на заданном интервале равно (3√3)/2 при x = π/6.

Демонстрация: Найдите максимальное значение функции y = 3cos(x) + cos(3x)/5 на интервале (-π/2; π/2).

Совет: Для решения подобных задач, всегда начинайте с нахождения производной функции и ее критических точек. После этого подстановкой значений х в функцию можно найти идентифицировать точки экстремума.

Дополнительное упражнение: Найдите максимальное значение функции f(x) = 2sin(x) + sin(2x)/3 на интервале (0; π).