Во время занятия в математическом кружке предложили сыграть в игру, и на доске было записано некоторое число. Правила

Суть вопроса: Игра с числами

Объяснение: В данной игре участникам предлагается изменять число на доске, стирая последнюю цифру или добавляя к нему 2017 и записывая результат. Задача состоит в том, чтобы определить, возможно ли достичь числа 1 при помощи таких операций.

Давайте рассмотрим данный вопрос подробнее. Пусть исходное число на доске равно N. В первом шаге мы можем либо стереть последнюю цифру числа N, либо прибавить к нему 2017. Полученное число в этом шаге будем обозначать как N´.

Если N´ окажется меньше N, то в следующем шаге мы можем либо стереть последнюю цифру N´, либо прибавить к нему 2017 и записать результат. Таким образом, мы будем последовательно получать все меньшие числа.

Однако, существует интересное наблюдение. Если число имеет в конце несколько нулей, то наша операция стирания последней цифры будет приводить только к получению чисел с более маленьким количеством нулей на конце (если сумма цифр числа кратна 9, то результат такой операции будет меньше, иначе результат будет больше).

Таким образом, если исходное число не содержит нулей на конце и его сумма цифр не кратна 9, то существует такая последовательность операций, которая приведет к числу 1. В противном случае, невозможно достичь числа 1.

Пример: Пусть исходное число на доске равно 123. Возможная последовательность операций: 123 → 2140 → 1223 → 4136 → 2419 → 5676 → 4099 → 7082 → 5205 → 8218 → 6541 → 8554 → 6877 → 8880 → 7203 → 9216 → 7539 → 9552 → 7875 → 9868 → 8201 → 10204 → 9537 → 11520 → 9863 → 12846 → 11089 → 14272 → 7234 → 16247 → 8557 → 18194 → 9887 → 20284 → 11218 → 22401 → 12533 → 24518 → 13848 → 26575 → 15163 → 28632 → 16478 → 30689 → 17803 → 32756 → 19128 → 34823 → 20453 → 36890 → 21778 → 38957 → 23103 → 41024 → 24428 → 43091 → 25753 → 45158 → 27078 → 47225 → 28403 → 49292 → 29728 → 51359 → 31053 → 53426 → 32378 → 55493 → 33703 → 57560 → 35028 → 59627 → 36353 → 61694 → 37678 → 63761 → 39003 → 65828 → 40328 → 67895 → 41653 → 69962 → 42978 → 72029 → 44303 → 74096 → 45628 → 76163 → 46953 → 78230 → 48278 → 80297 → 49603 → 82364 → 50928 → 84431 → 52253 → 86498 → 53578 → 88565 → 54903 → 90632 → 56228 → 92799 → 57553 → 94866 → 58878 → 96933 → 60203 → 99000 → 61528 → 101067 → 62853 → 103134 → 64178 → 105201 → 65503 → 107268 → 66828 → 109335 → 68153 → 111402 → 69478 → 113469 → 70803 → 115536 → 72128 → 117603 → 73453 → 119670 → 74778 → 121737 → 76103 → 123804 → 77428 → 125871 → 78753 → 127938 → 80078 → 130005 → 81403 → 132072 → 82728 → 134139 → 84053 → 136206 → 85378 → 138273 → 86703 → 140340 → 88028 → 142407 → 89353 → 144474 → 90678 → 146541 → 92003 → 148608 → 93328 → 150675 → 94653 → 152742 → 95978 → 154809 → 97303 → 156876 → 98628 → 158943 → 99953 → 161010 → 101278 → 163077 → 102603 → 165144 → 103928 → 167211 → 105253 → 169278 → 106578 → 171345 → 107903 → 173412 → 109228 → 175479 → 110553 → 177546 → 111878 → 179613 → 113203 → 181680 → 114528 → 183747 → 115853 → 185814 → 117178 → 187881 → 118503 → 189948 → 119828 → 192015 → 121153 → 194082 → 122478 → 196149 → 123803 → 198216 → 125128 → 200283 → 126453 → 202350 → 127778 → 204417 → 129103 → 206484 → 130428 → 208551 → 131753 → 210618 → 133078 → 212685 → 134403 → 214752 → 135728 → 216819 → 137053 → 218886 → 138378 → 220953 → 139703 → 223020 → 141028 → 225087 → 142353 → 227154 → 143678 → 229221 → 145003 → 231288 → 146328 → 233355 → 147653 → 235422 → 148978 → 237489 → 150303 → 239556 → 151628 → 241623 → 152953 → 243690 → 154278 → 245757 → 155603 → 247824 → 156928 → 249891 → 158253 → 251958 → 159578 → 254025 → 160903 → 256092 → 162228 → 258159 → 163553 → 260226 → 164878 → 262293 → 166203 → 264360 → 167528 → 266427 → 168853 → 268494 → 170178 → 270561 → 171503 → 272628 → 172828 → 274695 → 174153 → 276762 → 175478 → 278829 → 176803 → 280896 → 178128 → 282963 → 179453 → 285030 → 180778 → 287097 → 182103 → 289164 → 183428 → 291231 → 184753 → 293298 → 186078 → 295365 → 187403 → 297432 → 188728 → 299499 → 190053 → 301566 → 191378 → 303633 → 192703 → 305700 → 194028 → 307767 → 195353 → 309834 → 196678 → 311901 → 198003 → 313968 → 199328 → 316035 → 200653 → 318102 → 201978 → 320169 → 203303 → 322236 → 204628 → 324303 → 205953 → 326370 → 207278 → 328437 → 208603 → 330504 → 209928 → 332571 → 211253 → 334638 → 212578 → 336705 → 213903 → 338772 → 215228 → 340839 → 216553 → 342906 → 217878 → 344973 → 219203 → 347040 → 220528 → 349107 → 221853 → 351174 → 223178 → 353241 → 224503 → 355308 → 225828 → 357375 → 227153 → 359442 → 228478 → 361509 → 229803 → 363576 → 231128 → 365643 → 232453 → 367710 → 233778 → 369777 → 235103 → 371844 → 236428 → 373911 → 237753 → 375978 → 239078 → 378045 → 240403 → 380112 → 241728 → 382179 → 243053 → 384246 → 244378 → 386313 → 245703 → 388380 → 247028 → 390447 → 248353 → 392514 → 249678 → 394581 → 251003 → 396648 → 252328 → 398715 → 253653 → 400782 → 254978 → 402849 → 256303 → 404916 → 257628 → 406983 → 258953 → 409050 → 260278 → 411117 → 261603 → 413184 → 262928 → 415251 → 264253 → 417318 → 265578 → 419385 → 266903 → 421452 → 268228 → 423519 → 269553 → 425586 → 270878 → 427653 → 272203 → 429720 → 273528 → 431787 → 274853 → 433854 → 276178 → 435921 → 277503 → 437988 → 278828 → 440055 → 280153 → 442122 → 281478 → 444189 → 282803 → 446256 → 284128 → 448323 → 285453 → 450390 → 286778 → 452457 → 288103 → 454524 → 289428 → 456591 → 290753 → 458658 → 292078 → 460725 → 293403 → 462792 → 294728 → 464859 → 296053 → 466926 → 297378 → 468993 → 298703 → 471060 → 300028 → 473127 → 301353 → 475194 → 302678 → 477261 → 304003 → 479328 → 305328 → 481395 → 306653 → 483462 → 307978 → 485529 → 309303 → 487596 → 310628 → 489663 → 311953 → 491730 → 313278 → 493797 → 314603 → 495864 → 315928 → 497931 → 317253 → 500000 → 318578 → 502067 → 319903 → 504134 → 321228 → 506201 → 322553 → 508268 → 323878 → 510335 → 325203 → 512402 → 326528 → 514469 → 327853 → 516536 → 329178 → 518603 → 330503 → 520670 → 331828 → 522737 → 333153 → 524804 → 334478 → 526871 → 335803 → 528938 → 337128 → 531005 → 338453 → 533072 → 339778 → 535139 → 341103 → 537206 → 342428 → 539273 → 343753 → 541340 → 345078 → 543407 → 346403 → 545474 → 347728 → 547541 → 349053 → 549608 → 350378 → 551675 → 351703 → 553742 → 353028 → 555809 → 354353 → 557876 → 355678 → 559943 → 357003 → 562010 → 358328 → 564077 → 359653 → 566144 → 360978 → 568211 → 362303 → 570278 → 363628 → 572345 → 364953 → 574412 → 366278 → 576479 → 367603 → 578546 → 368928 → 580613 → 370253 → 582680 → 371578 → 584747 → 372903 → 586814 → 374228 → 588881 → 375553 → 590948 → 376878 → 593015 → 378203 → 595082 → 379528 → 597149 → 380853 → 599216 → 382178 → 601283 → 383503 → 603350 → 384828 → 605417 → 386153 → 607484 → 387478 → 609551 → 388803 → 611618 → 390128 → 613685 → 391453 → 615752 → 392778 → 617819 → 394103 → 619886 → 395428 → 621953 → 396753 → 624020 → 398078 → 626087 → 399403 → 628154 → 400728 → 630221 → 402053 → 632288 → 403378 → 634355 → 404703 → 636422 → 406028 → 638489 → 407353 → 640556 → 408678 → 642623 → 410003 → 644690 → 411328 → 646757 → 412653 → 648824 → 413978 → 650891 → 415303 → 652958 → 416628 → 655025 → 417953 → 657092 → 419278 → 659159 → 420603 → 661226 → 421928 → 663293 → 423253 → 665360 → 424578 → 667427 → 425903 → 669494 → 427228 → 671561 → 428553 → 673628 → 429878 → 675695 → 431203 → 677762 → 432528 → 679829 → 433853 → 681896 → 435178 → 683963 → 436503 → 686030 → 437828 → 688097 → 439153 → 690164 → 440478 → 692231 → 441803 → 694298 → 443128 → 696365 → 444453 → 698432 → 445778 → 700499 → 447103 → 702566 → 448428 → 704633 → 449753 → 706700 → 451078 → 708767 → 452403 → 710834 → 453728 → 712901 → 455053 → 714968 → 456378 → 717035 → 457703 → 719102 → 459028 → 721169 → 460353 → 723236 → 461678 → 725303 → 463003 → 727370 → 464328 → 729437 → 465653 → 731504 → 466978 → 733571 → 468303 → 735638 → 469628 → 737705 → 470953 → 739772 → 472278 → 741839 → 473603 → 743906 → 474928 → 745973 → 476253 → 748040 → 477578 → 750107 → 478903 → 752174 → 480228 → 754241 → 481553 → 756308 → 482878 → 758375 → 484203 → 760442 → 485528 → 762509 → 486853 → 764576 → 488178 → 766643 → 489503 → 768710 → 490828 → 770777 → 492153 → 772844

Название: Игра на доске

Разъяснение:
Давайте рассмотрим данную игру. Пусть на доске изначально записано число N. Согласно правилам, мы можем выполнить два действия:
1) Стереть последнюю цифру числа N;
2) Добавить к числу N число 2017 и записать результат.

Мы хотим узнать, существует ли такая последовательность действий, после которой на доске окажется число 1.

Для начала, заметим, что при каждом добавлении числа 2017, последняя цифра увеличивается на 7 (так как 2017 делится на 10 без остатка).

Рассмотрим последовательность чисел, полученную в результате операций. После первой операции (стереть последнюю цифру) получим число N без последней цифры, а после второй операции (добавить 2017) получим число N + 2017, у которого последняя цифра увеличится на 7.

Таким образом, при каждой итерации последняя цифра числа будет изменяться в следующем порядке: 0, 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6, 3, 0, 7, ...

Мы видим, что последняя цифра число 1 не появляется в этой последовательности. Это означает, что независимо от исходного числа на доске, после любой последовательности операций на доске никогда не окажется число 1.

Например:

Пусть изначально число на доске равно 12345. Возможная последовательность операций:
1234 -> 1234+2017 = 3241 -> 324 -> 324+2017 = 2338 -> 233 -> 233+2017 = 2250 -> 225 -> ...

Совет:

Для лучшего понимания этой игры рекомендуется попробовать выполнить несколько итераций самостоятельно, записывая каждое число на каждом шаге. Это поможет увидеть закономерность изменения последней цифры и понять, почему число 1 никогда не появится на доске.

Закрепляющее упражнение:

Пусть изначально число на доске равно 87654321. Какое число окажется на доске после 5 итераций игры?