Вариант 1 1. Какова длина отрезка BC и каковы координаты его середины, если точка B имеет координаты (-2

Тема урока: Координатная геометрия

1. Чтобы найти длину отрезка BC и координаты его середины, мы можем использовать формулы из координатной геометрии. Длина отрезка BC вычисляется с помощью формулы расстояния между точками, которая выглядит следующим образом:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек, в данном случае точек B и C.

\[ BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21 \]

Координаты середины отрезка BC можно найти следующим образом:

\[ x_{mid} = \frac{(x_1 + x_2)}{2}, \quad y_{mid} = \frac{(y_1 + y_2)}{2} \]

\[ x_{mid} = \frac{(-2 + 4)}{2} = \frac{2}{2} = 1, \quad y_{mid} = \frac{(5 + 1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Таким образом, длина отрезка BC равна примерно 7.21, а координаты его середины равны (1, 3).

2. Для составления уравнения окружности, которая имеет центр в точке A (-1, 2) и проходит через точку M (1, 7), мы можем использовать формулу окружности:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Используя центральные координаты A (-1, 2) вместо (h, k), нужно найти радиус.

\[ r^2 = (-1 - h)^2 + (2 - k)^2 \]

Так как окружность проходит через точку M (1, 7), мы можем подставить координаты M в уравнение и решить его относительно r.

\[ r^2 = (-1 - 1)^2 + (2 - 7)^2 \]

\[ r^2 = 4 + 25 \]

\[ r^2 = 29 \]

Таким образом, уравнение окружности будет выглядеть следующим образом:

\[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 29 \]

3. Чтобы найти координаты вершины B параллелограмма ABCD, мы можем использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Следовательно, сторона AB равна стороне CD, и сторона AD равна стороне BC.

Найдем координаты точки B с помощью векторов. Вектор AB будет иметь те же координаты, что и вектор CD, а вектор BC будет иметь те же координаты, что и вектор AD.

\[ \vec{AB} = \vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (-4 - 3, -5 - (-2)) = (-7, -3) \]

\[ \vec{BC} = \vec{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (-4 - 9, -5 - (-2)) = (-13, -3) \]

Теперь найдем координаты вершины B, используя координаты точки A и вектор AB:

\[ (x_B, y_B) = (x_A + \vec{AB}_x, y_A + \vec{AB}_y) = (3 + (-7), -2 + (-3)) = (-4, -5) \]

Таким образом, координаты вершины B параллелограмма ABCD равны (-4, -5).

4. Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки A (-1, 4) и B (5, 2), мы можем использовать формулу уравнения прямой:

\[ y = mx + b \]

где m - наклон прямой, а b - координата y-пересечения (точка, где прямая пересекает ось y).

Наклон (m) прямой можно определить, используя формулу:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

\[ m = \frac{2 - 4}{5 - (-1)} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Теперь, используя точку A (-1, 4) и найденный наклон, мы можем определить b, подставив координаты A в уравнение:

\[ 4 = -\frac{1}{3} \cdot (-1) + b \]

\[ 4 = \frac{1}{3} + b \]

\[ b = 4 - \frac{1}{3} = \frac{11}{3} \]

Тогда уравнение прямой будет выглядеть следующим образом:

\[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{11}{3} \]

5. Для определения координаты точки, которая...