В треугольнике АВС заданы координаты вершин А(–6;2), В(2;–2) и С(1;2). Найти: а) уравнение прямой, которая является

Предмет вопроса: Нахождение уравнений прямых и длины отрезка в треугольнике

Описание:
Для решения данной задачи, мы можем использовать свойства треугольника и координатную геометрию. В треугольнике ABC, нам даны координаты вершин А(-6;2), В(2;-2) и С(1;2).

a) Уравнение прямой, являющейся медианой АМ:
Чтобы найти уравнение медианы АМ, нам нужно найти среднюю точку на стороне BC и провести прямую через эту точку и вершину А.

Шаги решения:
1. Найдем среднюю точку на стороне BC. Для этого используем формулу средней точки:
xср = (xВ + xС) / 2, где xВ и xС - x-координаты вершин B и C соответственно.
yср = (yВ + yС) / 2, где yВ и yС - y-координаты вершин B и C соответственно.

2. Полученные значения xср и yср используем для построения уравнения прямой, проходящей через точку А(-6,2) и среднюю точку.

b) Уравнение прямой, являющейся перпендикуляром, опущенным из В на АМ:
Чтобы найти уравнение перпендикуляра, опущенного из В на АМ, нам нужно найти угловой коэффициент прямой АМ, и затем использовать свойство перпендикулярности.

Шаги решения:
1. Найдем угловой коэффициент прямой АМ. Для этого используем формулу:
k = (yМ - yA) / (xМ - xA), где xA и yA - координаты вершины A, а xМ и yМ - координаты средней точки М.

2. Затем найдем угловой коэффициент перпендикуляра, обратив угловой коэффициент АМ и умножив его на -1.

3. Используем полученный угловой коэффициент и координаты вершины В для нахождения уравнения прямой, опущенной из В на АМ.

c) Длина отрезка ВН:
Чтобы найти длину отрезка ВН, нам нужно найти координаты вершины Н и использовать формулу расстояния между двумя точками.

Шаги решения:
1. Найдем координаты точки Н, которая является пересечением медианы АМ и высоты из вершины В.

2. Используем найденные координаты, а также координаты вершин В и Н для вычисления длины отрезка ВН по формуле расстояния между двумя точками.

Пример:
а) Уравнение прямой, являющейся медианой АМ:
xср = (-2+1)/2 = -0.5
yср = (-2+2)/2 = 0

Уравнение прямой: y = kx + b, где k - угловой коэффициент, b - свободный член.
Используя точку А(-6,2) и среднюю точку М(-0.5,0), получим:
y = -2x + 5

б) Уравнение прямой, являющейся перпендикуляром, опущенным из В на АМ:
k(AM) = (0-2)/(-0.5+6) = -2/5
k(перпендикуляр) = -1 / k(AM) = 5/2

Уравнение прямой: y = kx + b. Используя точку B(2,-2), получим:
y = (5/2)x + 3

в) Длина отрезка ВН:
Координаты точки Н: Найдем пересечение медианы АМ и высоты из вершины В.
В результате расчетов найдем точку Н(-3,1).

Длина отрезка ВН: √((-3-2)^2+(1-(-2))^2) = √(25 + 9) = √34

Советы:
- При решении координатной задачи, всегда важно правильно определить вершины и стороны треугольника по заданным координатам.
- Используйте формулы для нахождения средней точки, углового коэффициента и расстояния между двумя точками, чтобы решить задачу более эффективно.

Дополнительное задание:
Даны координаты вершин треугольника PQR: P(3, -2), Q(-1, 4) и R(5, 6). Найдите:
а) Уравнение прямой, являющейся медианой PQ.
б) Уравнение прямой, являющейся перпендикуляром, опущенным из P на PQ.
в) Длину отрезка QR.