В треугольнике ABC даны векторы A=CA и B=CB, где A=(0; 1; -1) и B=(2; -1; -1). Необходимо найти: а) Вектор

Суть вопроса: Векторы в треугольнике

Пояснение:
а) Чтобы найти вектор AB, нужно вычислить разность координат вектора B и вектора A. Для этого вычитаем соответствующие координаты и получаем AB = (2-0; -1-1; -1-(-1)) = (2; -2; 0).

б) Чтобы найти внутренние углы треугольника ABC, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Для этого применяем следующую формулу: cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|), где · обозначает скалярное произведение, а |A| и |B| - модули векторов. Тогда угол ABC равен: θ = arccos((A ⋅ B) / (|A| * |B|)). Заметим, что A ⋅ B = |A| * |B| * cos(θ). Следовательно, θ = arccos(cos(θ)), то есть θ = cos^(-1)(cos(θ)).

в) Для нахождения вектора C, который является результатом векторного произведения A×(B-2A), мы вычисляем произведение векторов A и (B-2A), используя правило векторного произведения. Затем полученный вектор является вектором C.

г) Модуль смешанного произведения векторов A, B и (i+j+k) можно найти следующим образом: |(i+j+k)AB| = |i⋅(A×B) + j⋅(A×C) + k⋅(B×C)|, где × обозначает векторное произведение. Найденные векторы A×B, A×C и B×C подставляем в формулу и вычисляем их модули.

Демонстрация:
а) Вектор AB = (2; -2; 0).
б) Угол ABC = cos^(-1)((A ⋅ B) / (|A| * |B|)).
в) Вектор C = A × (B-2A), |C| = |A×(B-2A)|.
г) Модуль смешанного произведения |(i+j+k)AB|

Совет:
Для понимания векторов в треугольнике полезно освоить правила сложения, вычитания и умножения векторов, а также понять геометрическую интерпретацию векторов. Решение задач векторного анализа часто требует применения этих правил. Также полезно понимать, что скалярное произведение векторов позволяет измерить угол между ними, а векторное произведение - найти новый вектор, перпендикулярный заданным векторам.

Задача для проверки:
Найдите внутренние углы треугольника XYZ, если вектор X = (1; 2; 3), вектор Y = (4; -1; 2) и вектор Z = (3; 5; -2).