В билете есть три задачи. Какова вероятность, что студент правильно решит одну задачу, равна 0,9, другую - 0,8, третью

Предмет вопроса: Распределение случайной величины на билете

Пояснение:
Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение.

Пусть X - случайная величина, обозначающая количество правильно решенных задач на одном билете. Задачи независимы друг от друга.

Для каждой задачи дана вероятность правильного решения: P(X=1) = 0.9, P(X=2) = 0.8 и P(X=3) = 0.7.

Так как вероятность того, что студент правильно решит задачу равна 0.9, а не правильно решит - 0.1, то для каждой задачи можно сказать, что P(X=0) = 0.1.

Таким образом, закон распределения случайной величины X будет выглядеть следующим образом:
P(X=k) = (0.9^k)*(0.1^(3-k))*C(3,k), где C(3,k) - сочетание из трех по k.

Математическое ожидание E(X) для биномиального распределения вычисляется по формуле E(X) = np, где n - количество испытаний (в нашем случае 3), p - вероятность успеха.

E(X) = 3 * 0.9 = 2.7

Дисперсия Var(X) для биномиального распределения вычисляется по формуле Var(X) = npq, где n - количество испытаний (в нашем случае 3), p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи (1-p).

Var(X) = 3 * 0.9 * 0.1 = 0.27

Функция распределения F(x), где x - количество успешно решенных задач, будет выглядеть следующим образом:
F(0) = 0.1^3 = 0.001 (вероятность того, что не будет решена ни одна задача)
F(1) = C(3,1)*(0.9^1)*(0.1^2) = 0.27 (вероятность того, что будет решена одна задача)
F(2) = C(3,2)*(0.9^2)*(0.1^1) = 0.54 (вероятность того, что будет решены две задачи)
F(3) = C(3,3)*(0.9^3)*(0.1^0) = 0.729 (вероятность того, что будут решены все три задачи)

Доп. материал:
У студента есть билет, в котором есть три задачи. Какова вероятность того, что он правильно решит хотя бы две задачи?

Совет:
Чтобы лучше понять задачи на биномиальное распределение, изучите формулы и примеры использования этого распределения. Обратите внимание на то, как вероятности задаются и как вычисляются математическое ожидание и дисперсия.

Задача на проверку:
Какова вероятность того, что студент правильно решит только одну задачу?

Тема урока: Распределение Бернулли

Пояснение:
Распределение Бернулли - это дискретное распределение, которое моделирует ситуации, где результаты испытаний могут быть только двумя: успехом (обозначается как 1) или неудачей (обозначается как 0). В данной задаче мы имеем 3 независимых испытания, где вероятность успеха в каждом из них различна.

Чтобы решить задачу, мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас имеется несколько независимых испытаний со случайной величиной X, которая представляет количества успехов.

Прежде всего, составим закон распределения количества правильно решенных задач.

Вероятность того, что студент решит 1 задачу из 3-х успешно, равна 0,9. Следовательно, вероятность неудачи в решении задачи будет равна 1 - 0,9 = 0,1. Аналогично, вероятности для 2-й и 3-й задач равны 0,8 и 0,7 соответственно.

Формула для вероятности биномиального распределения заданного количества успехов X выглядит следующим образом:

P(X = k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k),

где n - количество испытаний, p - вероятность успеха на каждом испытании, k - количество успешных испытаний.

Теперь, чтобы посчитать вероятность того, что студент сдаст зачет, решив как минимум две задачи, нужно просуммировать вероятности для X >= 2:

P(X >= 2) = P(X = 2) + P(X = 3).

Математическое ожидание (математическое среднее) и дисперсия для биномиального распределения вычисляются по следующим формулам:

Математическое ожидание: E[X] = n * p,
Дисперсия: Var(X) = n * p * (1 - p).

Для построения графика функции распределения нам понадобятся все вероятности P(X = k) для k от 0 до n, где n - количество испытаний (в данном случае 3).

Пример:
Задача: Вероятность решить одну задачу равна 0,9, другую 0,8, третью 0,7. Какова вероятность сдать зачет, если нужно решить как минимум две задачи?

Советы:
- Вероятность неудачи в решении каждой задачи можно получить из вероятности успеха: p = 1 - вероятность успеха.
- Закон распределения показывает вероятность каждого возможного числа успешных испытаний.
- Для построения графика функции распределения можно использовать таблицу или программу для вычисления.

Дополнительное упражнение:
Вычислите вероятность события X >= 2 по формуле, используя данные из задачи.