Требуется определить, сходится ли ряд 1/ln2+1/ln3+1/ln4​

Тема урока: Сходимость ряда ln

Описание:

Для анализа сходимости данного ряда рассмотрим последовательность его частичных сумм. Обозначим эту последовательность как S_n:

S_n = 1/ln2 + 1/ln3 + 1/ln4 + ... + 1/lnn

Для определения сходимости данного ряда, воспользуемся интегральным признаком. Для этого рассмотрим интеграл от функции f(x), обратной к функции ln(x):

∫(1/x) dx = ln|x| + C

где C - константа интегрирования.

Теперь рассмотрим интеграл от функции 1/ln(x):

∫(1/ln(x)) dx

Проинтегрировав данную функцию, получим:

∫(1/ln(x)) dx = x/ln(x) - ∫(1/(x*ln^2(x))) dx + C

На основании правила интегрирования функции с обратной логарифмической зависимостью, видно, что данная функция возрастает.

Таким образом, мы можем утверждать, что

S_n = 1/ln2 + 1/ln3 + 1/ln4 + ... + 1/lnn < ∫(1/ln(x)) dx = x/ln(x) - ∫(1/(x*ln^2(x))) dx + C

Так как функция x/ln(x) возрастает без ограничения сверху при x ≥ e, и интеграл от функции 1/(x*ln^2(x)) сходится к некоторому числу, то интеграл ∫(1/ln(x)) dx расходится.

Следовательно, ряд 1/ln2 + 1/ln3 + 1/ln4 + ... не сходится.

Совет:

Для лучшего понимания сходимости ряда, рекомендуется ознакомиться с интегральным признаком и изучить интегралы, связанные с обратными логарифмическими функциями. Также, полезно будет рассмотреть примеры сходимости и расходимости рядов для логарифмических функций.

Упражнение:

Проверьте сходимость ряда 1/ln5 + 1/ln6 + 1/ln7 + ...