Сколько возможных вариантов разбиения на пары может создать учитель, если в паре не должно быть двух отличников

Тема вопроса: Возможные варианты разбиения на пары из отличников и ударников.

Пояснение: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод комбинаторики. В классе у нас есть 6 отличников и 6 ударников. Нам нужно разбить их на пары таким образом, чтобы в каждой паре был хотя бы один отличник и хотя бы один ударник.

Мы начнем с выбора первой пары. У нас есть 12 учеников, поэтому есть 12 возможных выборов для первого ученика. Когда первый ученик выбран, у нас остается 11 учеников для второго партнера. Однако, из 11 учеников у нас уже есть 6 учеников, которые могут быть выбраны только в качестве партнеров для отличников. Поэтому у нас остается только 5 учеников, которые могут быть выбраны в качестве партнеров для ударников.

Таким образом, у нас есть 12 возможностей для первой пары, а затем 5 возможностей для второй пары. Учитывая, что порядок, в котором мы выбираем пары, не имеет значения, мы должны поделить результат на число возможных перестановок пар, чтобы избежать повторений. В данном случае у нас есть 2 пары, поэтому нам нужно поделить результат на 2.

Итак, общее число возможных вариантов разбиения на пары равно (12 * 5) / 2 = 30.

Совет: Для более легкого понимания задачи можно визуализировать процесс разбиения на пары, используя диаграмму. Можно нарисовать кружки для каждого ученика и соединить их линиями, образуя пары. Это поможет увидеть все возможные варианты разбиения. Также, учитель может привести примеры пар из отличников и ударников, чтобы наглядно продемонстрировать задачу.

Задача для проверки: Сколько возможных вариантов разбиения на пары может создать учитель, если в классе 4 отличника и 4 ударника?

Тема: Разбиение на пары с ограничениями

Инструкция: Для решения данной задачи, мы можем использовать принципы комбинаторики. У нас есть 6 отличников и 6 ударников, и необходимо разделить их на пары таким образом, чтобы в каждой паре не было двух отличников или двух ударников.

Мы можем рассмотреть два случая: когда первая пара состоит из отличника и ударника, и когда первая пара состоит из ударника и отличника. После этого, мы можем использовать принцип умножения для каждого случая.

Сначала рассмотрим случай, когда первая пара состоит из отличника и ударника. Мы имеем 6 возможных отличников, из которых можно выбрать одного, и 6 возможных ударников, из которых можно выбрать одного. Затем, оставшиеся 5 отличников можно разделить между собой ${5 \choose 2}$ способами, и оставшиеся 5 ударников также можно разделить между собой ${5 \choose 2}$ способами. Поэтому, общее количество возможных вариантов для этого случая равно $6 \cdot 6 \cdot {5 \choose 2} \cdot {5 \choose 2}$.

Теперь рассмотрим случай, когда первая пара состоит из ударника и отличника. В этом случае, мы также имеем 6 возможных отличников и 6 возможных ударников, и дальнейшие действия аналогичны предыдущему случаю. Общее количество возможных вариантов для этого случая также равно $6 \cdot 6 \cdot {5 \choose 2} \cdot {5 \choose 2}$.

Наконец, мы можем сложить количество возможных вариантов для каждого случая, чтобы получить окончательный ответ. Учитывая наши вычисления, общее количество возможных вариантов разбиения на пары равно $2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot {5 \choose 2} \cdot {5 \choose 2}$.

Дополнительный материал: Сколько возможных вариантов разбиения на пары может создать учитель, если в паре не должно быть двух отличников или двух ударников, в классе 6 отличников и 6 ударников?
Ответ: 1800 возможных вариантов разбиения на пары.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, полезно представить разбиение на пары в виде диаграммы или построить все возможные варианты вручную для небольших значений. Также обратите внимание на использование принципа умножения и идею разделения оставшихся студентов между собой.

Закрепляющее упражнение: Найдите количество возможных вариантов разбиения на пары, если в классе 8 отличников и 7 ударников.