Сколько трехзначных телефонных номеров можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если повторений быть не должно?

Содержание вопроса: Комбинаторика и перестановки

Описание: Для первой задачи, чтобы найти количество трехзначных телефонных номеров без повторений, мы можем использовать принцип перестановок без повторений. У нас есть 7 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Первая цифра трехзначного номера может быть любой из этих 7 цифр, так что у нас есть 7 вариантов выбора.
Вторая цифра не может быть той же самой, что и первая, поэтому у нас останется только 6 вариантов выбора.
Аналогично, на третью позицию у нас останется только 5 вариантов выбора.

Чтобы найти общее количество комбинаций, мы перемножим все варианты выбора: 7 * 6 * 5 = 210.

Таким образом, есть 210 трехзначных телефонных номеров без повторений, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Для второй задачи, где повторения недопустимы, использование перестановок не подходит, так как мы не можем использовать одну цифру несколько раз. Вместо этого мы используем принцип комбинаций без повторений. У нас все еще есть 7 цифр, но теперь мы выбираем только 3 из них.

Чтобы найти количество комбинаций трехзначных телефонных номеров без повторений, мы используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), где n - общее количество элементов, а k - сколько элементов мы выбираем. В нашем случае у нас есть 7 цифр и мы выбираем 3 из них.

Таким образом, количество комбинаций трехзначных телефонных номеров без повторений равно C(7, 3) = 7! / (3! * (7-3)!) = 35.

Для третьей задачи, где повторения разрешены, мы используем комбинации с повторениями.

Количество комбинаций с повторениями равно (n + k - 1)! / (k! * (n-1)!), где n - общее количество элементов, а k - сколько элементов мы выбираем. В нашем случае у нас все еще есть 7 цифр и мы выбираем 3 из них.

Таким образом, количество комбинаций трехзначных телефонных номеров с разрешенными повторениями равно (7 + 3 - 1)! / (3! * (7-1)!) = 84.

Совет: Для лучшего понимания комбинаторики и перестановок важно запомнить формулы и понимать, когда использовать каждую из них. Практика решения задач поможет закрепить знания и улучшить навыки в этой области.

Упражнение: Сколько трехзначных телефонных номеров можно составить, если использовать только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и повторения разрешены?