Сколько корней имеет уравнение tg2x=tgx на отрезке [п/2;3п/2]?

Тема: Решение уравнения вида tg(2x) = tg(x) на отрезке [π/2; 3π/2]

Объяснение: Чтобы решить уравнение tg(2x) = tg(x) на заданном отрезке [π/2; 3π/2], мы должны найти все значения x, при которых тангенс двойного угла равен тангенсу самого угла.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством: tg(2x) = 2tg(x)/(1-tg^2(x)).
Это тождество позволяет преобразовать уравнение в следующий вид:
2tg(x)/(1-tg^2(x)) = tg(x).

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
2tg(x)/(1-tg^2(x)) - tg(x) = 0.

Общий знаменатель дроби равен (1-tg^2(x)), поэтому упростим уравнение, умножив числитель на (1-tg^2(x)):
2tg(x) - tg(x)(1-tg^2(x)) = 0.

Раскроем скобки:
2tg(x) - tg(x) + tg^3(x) = 0.

Упростим уравнение:
tg(x) + tg^3(x) = 0.

Factor out the common term of tg(x):
tg(x)(1 + tg^2(x)) = 0.

Уравнение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
tg(x) = 0 или 1 + tg^2(x) = 0.

Solve for tg(x) = 0:
tg(x) = 0,
x = 0, π.

Solve for 1 + tg^2(x) = 0:
tg^2(x) = -1,
Это уравнение не имеет действительных корней на отрезке [π/2; 3π/2].

Таким образом, уравнение tg(2x) = tg(x) имеет два действительных корня на отрезке [π/2; 3π/2]: x = 0 и x = π.

Совет: Для более уверенного решения уравнений, связанных с тригонометрией, рекомендуется знать основные тригонометрические идентичности и уметь применять их в процессе решения. Используйте эти идентичности вместе с алгебраическими методами, чтобы упростить уравнение и найти его корни.

Проверочное упражнение: Найдите все решения уравнения tg(3x) = tg(x) на отрезке [0; π/2].